Розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів

 

Нехай потрібно розв'язати нерівність

 

,

де  цілі додатні числа;

— дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що . Нерівності подібного типу розв'язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена  точка  ділить числову вісь на дві частини, причому якщо   ( - парне), то вираз  праворуч і ліворуч від точки  зберігає додатний знак; якщо   ( - непарне число), то вираз  праворуч від точки  додатний, а ліворуч від точки  від'ємний.

Для розв'язання нерівності

 

 

узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа ; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число  змінюємо знак, якщо   — непарне число, і зберігаємо знак, якщо.   — парне число.

Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази , то праворуч від найбільшого з  не обов'язково буде знак «+». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності в якомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів з урахуванням викладених вище міркувань.

Зауваження 2. Наведені вище міркування справедливі і для нерівностей виду

, , , де

 

.

 

Приклад 1. Розв’язати нерівність

 

 

Перепишемо нерівність у рівносильному вигляді

 

 

Числа , , ,  є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 

 

 

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки  буде той самий знак «+», тому що у виразі  показник степеня (число 4) є числом парним.

 +  + +

-7 -  6 x

 

Відповідь:.

 

Приклад 2. Розв’язати нерівність

 

 

Числа , , є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції  на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки  і  буде той самий знак «-», тому що у виразах і (х + 3)⁶  показник степеня (число 4 і 6 відповідно) є парні числа, визначаємо знак f(x) в кожному з інтервалів.

 +

-3 1 5 x

 

Відповідь: .

Приклад 3. Розв’язати нерівність

 

 

Числа , ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь. Оскільки дискримінант квадратного тричлена х² , то для всіх  і, значить, парабола  не перетинає вісь Ох. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язання.

 

 +  +

-1 1 2 x

 

Відповідь: .

Приклад 4. Розв’язати нерівність

 

 

Числа , ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції  на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розв’язання.

 

 +  +

-3 -1 0 x

 

Відповідь:. .

Приклад 5. Розв’язати нерівність

 

.

 

Перепишемо нерівність

 

.

 

Числа , ,  є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 

 

 

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розв’язання.

 

 +  + +

-  6 x

Відповідь:.