Геометрические свойства векторного произведения

Теорема 13

1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах , приведённых к общему началу, равна модулю их векторного произведения.

2.

Доказательство:

1) Построим параллелограмм на векторах и

2) Необходимость.

Достаточность.

Алгебраические свойства векторного произведения

1. – антикоммутативность

2. – ассоциативность относительно умножения на число

3.

4. , где – векторная проекция на прямую перпендикулярную и лежащую в плоскости векторов и .

5. – дистрибутивность

Доказательство свойств:

1.

- правая тройка (по определению)

- левая тройка (по определению)

- левая тройка (по лемме)

По лемме №3

 

2.

Докажем, что модули равны

 

Докажем, что вектора сонаправлены:

- правая тройка

- правая тройка,

- правая тройка,

- правая тройка, т.к.

Тогда по лемме 3:

- правая тройка

- левая тройка, т.к.

- правая тройка, - левая тройка,

Тогда по лемме №3:

 

3. Доказать самостоятельно.

 

4.

- правая тройка

- правая тройка

- правая тройка

Тогда по лемме №3:

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

Повернём параллелограмм в плоскости на ; если смотреть из конца вектора , то против часовой стрелки. Каждый вектор умножаем на .

- правая тройка (по определению)

В силу того, что

6.

(Из свойства 1)

 

Векторное произведение в координатах

Теорема 14

Пусть в ПДСК заданы векторы . Тогда:

Доказательство:

Рассмотрим . Докажем, что .

, а Длины векторов равны.

(по определению векторного произведения), а (так как базисные векторы в ПДСК) .

Причем – правая тройка векторов и – правая тройка векторов (по определению). По Лемме №3 .

Значит .

Аналогично доказывается, что , .

В силу антикоммутативности векторного произведения

; ; .

В силу свойства 3 векторного произведения

.

Мы доказали следующую таблицу.

 

Таблица векторных произведений

Используя свойства векторного произведения (дистрибутивность, ассоциативность умножения вектора на число) и таблицу векторных произведений вычислим

 

Следствие

пропорциональность соответствующих координат.

Применение векторного произведения

 

Пусть даны в ПДСК вектора . Тогда:

 

 

 

В случае плоскости:

 

где

 

Векторное произведение в АСК

O

 

 

Смешанное произведение векторов

Определение №44

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторного произведения векторов на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 15

Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу, взятому со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка левая.

Смешанное произведение векторов равно 0, тогда и только тогда когда векторы компланарны.

Доказательство:

1) Рассмотрим вектора , и единичный вектор . Тогда , – правая тройка (так как по определению).

 

Если , – правая тройка, то (вектор направлен в то же полупространство, что и , относительно плоскости , ).

Если , – левая тройка, то (вектора и направлены в разные полупространства относительно плоскости , ).

2) – компланарны .

векторы компланарны.

♥

Замечание

В формулировке теоремы предполагается, что базис правый; если ориентация базиса может быть любой, то соответствующие слова заменяем на взятого со знаком «+», если ориентация базиса и тройки совпадают, и со знаком «-», если ориентация тройки и базиса различны.