Законы отражения и преломления света

ОПТИКА

В этом разделе изучаются законы излучения, поглощения и распространения света. Свет имеет двойственную природу: он проявляет себя и как поток частиц - фотонов (квантов света), и как. электромагнитное излучение (электромагнитная волна). Это свойство называется корпускулярно - волновым дуализмом света. В одних явлениях более выражены волновые свойства света (интерференция, дифракция, поляризация), в других – корпускулярные (фотоэффект, тепловое излучение, эффект Комптона). Ряд оптических явлений к настоящему времени удалось объяснить и с волновых, и с корпускулярных (квантовых) позиций.

ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА В ЛИНЗАХ

 

Линзами называются объекты из прозрачных материалов, ограниченные с двух сторон преломляющими поверхностями, чаще всего сферическими. Линзы бывают двояковыпуклыми, двояковогнутыми, плосковыпуклыми, плосковогнутыми и т.д. При этом плоскую поверхность можно рассматривать как сферическую бесконечно большого радиуса кривизны.

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления линзой пересекаются лучи, падающие на линзу параллельно ее оптической оси. Расстояние F от фокуса до центра линзы называется фокусным расстоянием линзы.

Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, выполняется соотношение

(1.4)

 

где а и в - соответственно расстояния от линзы до объекта и от линзы до изображения; R₁ и R₂ - радиусы кривизны ограничивающих поверхностей; F - фокусное расстояние линзы; D = 1/F - оптическая сила линзы(в системе СИ измеряется в диоптриях, дптр). Все расстояния, отсчитываемые по ходу луча, берутся со знаком “+” против хода луча - со знаком “-”.

Увеличением линзы k называется отношение размера изображения к размеру объекта.

 

ПРИМЕР. На расстоянии а = 25 см от двояковыпуклой линзы Л оптической силой D = 10 дптр поставлен предмет высотой АВ= 3 см. Найти положение и высоту изображения предмета А₁В₁, а также увеличение линзы k.

 

РЕШЕНИЕ. Определим фокусное расстояние линзы

 

F = 1/ D = 1/10 =0,1 (м).

 

Построим изображение объекта АВ. Для этого от каждой из точек А и В нужно провести не менее двух лучей. Проведем лучи АВ₁ и ВА₁ через центр линзы; при этом они не изменяют своего направления. Еще два луча, идущие от точек А и В параллельно оптической оси, проходят через фокус линзы F. В результате построения видим, что полученное изображение является действительным, обратным и уменьшенным.

По формуле (1.4) найдем расстояние в от линзы до изображения:

 

Из подобия треугольников АОВ и А₁ОВ₁ следует, что

 

А₁В₁ = АВ ∙ в / а = 3∙0,16/0,25 = 1,82 (см)

 

Увеличение линзы k = А₁В₁ /АВ = 1,82/3 = 0,66.

 

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

 

При сложении двух когерентных волн интенсивностей I ₁ и I ₂ интенсивность I результирующей волны равна

____

I = I ₁ + I ₂ + 2√ I ₁ I ₂ соs δ, (1.5)

 

где δ - разность фаз складывающихся волн.

В тех точках пространства, где соs δ › 0, результирующая интенсивность больше суммы интенсивностей исходных волн,т.е. I › I ₁ + I ₂. А там, где соs δ ‹ 0, наоборот - результирующая интенсивность меньше суммы интенсивностей исходных волн - I ‹ I ₁ + I ₂.

Следовательно, происходит перераспределение энергии светового потока: в одних местах волны усиливают друг друга, там наблюдаются максимумы интенсивности света, а в других волны ослабляют друг друга и там имеют место минимумы интенсивности света. Это явление называется интерференцией света.

Оптический путь L световой волны - это произведение геометрической длины пути s световой на показатель преломления среды n:

 

L = s n. (1.6)

 

Оптической разностью хода двух световых волн называется величина

 

Δ = L ₂ - L ₁ = s ₂ n ₂ - s ₁ n ₁. (1.7)

Оптическая разностью хода волн Δ связана с их разностью фаз δ соотношением

δ

Δ = –– λ₀. (1.8)

2π

 

Здесь λ₀ - длина волны в вакууме.

Если оптическая разность хода волн равняется четному числу полуволн, т.е.

Δ = ± 2 m λ₀/2 = ± m λ₀, (1.9)

 

то при их наложении наблюдается интерференционный максимум. Если же оптическая разность хода волн равняется нечетному числу полуволн

 

Δ = ± (2 m + 1) λ₀/2, (1.10)

 

то при их сложении имеет место минимум интерференции.

Расстояние между соседними максимумами (или минимумами) называется шириной интерференционной полосы Δ х. При наблюдении интерференционной картины от двух когерентных источников света (опыт Юнга, зеркала Френеля, бипризма Френеля и т.д.) ширина интерференционной полосы рассчитывается по формуле

l

Δ х = ––– λ, (1.11)

d

 

где l – расстояние от источников света до экрана наблюдения; d – расстояние между источниками света; λ - длина волны.

Оптическая разность хода световых волн при отражении от тонкой пленки

_________

Δ = 2 d√ n ² - sin² α ± λ/2 = 2 d n cos β ± λ/2. (1.12)

 

Здесь d – толщина пленки; α и β – углы падения и преломления волны. Дополнительная разность хода ± λ/2 возникает из-за потери полуволны при отражении света от среды, оптически более плотной.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

(1.13)

 

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем)

(1.14)

 

где R – радиус линзы; m – номер кольца; n – показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

 

ПРИМЕР. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления 1,25, находящуюся в воздухе, нормально падает параллельный пучок монохроматического света длины волны λ. Как будет выглядеть эта пленка в отраженном свете, если ее толщина d = 10 λ?

 

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим луч света 1, принадлежащий падающему световому пучку. Известно, что при нормальном падении преломленный луч не меняет своего направления. В точке А луч света 1 частично отражается от первой грани пленки в обратном направлении (луч 1΄), частично проходит в первоначальном направлении до точки В и отражается от второй грани пленки (1΄΄). Для удобства лучи 1΄ и 1΄΄ изображены раздельно, на самом деле они идут по одному направлению. Лучи 1΄ и 1΄΄ являются когерентными, т.к. получены делением одного луча на два, и могут интерферировать при наложении. Поскольку потеря полуволны происходит при отражении света от верхней границы пленки, оптическая разность хода лучей в данном случае определится как

 

Δ = L ₂ - L ₁ = 2 d n - (- λ/2) = 2 d n + λ/2. (1.15)

Так как толщина пленки и угол падения лучей не меняется, то разность хода интерферирующих лучей по всей пленке одинакова. Поэтому пленка будет окрашена равномерно: при выполнении условия интерференционных минимумов (1.10) она будут темной, а при выполнении условия максимумов (1.9) она будет окрашена в цвет падающего монохроматического излучения.

В общем виде можно записать

 

2 d n + λ/2 = х λ/2, (1.16)

 

имея в виду, что при четном х пленка в отраженном свете будет светлой, а при нечетном - темной.

Найдем величину из равенства (1.16):

 

2 d n + λ/2 4 d n

х = –––––––––-- = ––––- +1;

λ/2 λ

 

4∙10∙λ∙1,25

х = –––––––––-- + 1 = 51,

λ

 

т.е. получили нечетное число, откуда следует, что пленка в отраженном свете будет темной.

 

ПРИМЕР. Явление интерференции света применяется для определения показателей преломления прозрачных материалов с помощью приборов, называющихся интерференционными рефрактометрами. На рис.6 приведена принципиальная схема такого рефрактометра. Здесь S - узкая щель, через которую проходит свет длины волны λ = 589 нм; 1 и 2 – кюветы длиной l = 10 см каждая, заполненные воздухом показатель преломления которого n = 1,000277; L₁ и L₂ - линзы; Э – экран для наблюдения интерференционной картины. При замене в одной из кювет воздуха на аммиак интерференционная картина на экране сместилась на N = 17 полос относительно первоначальной картины. Определить показатель преломления аммиака.

 

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим точку А в центре экрана Э. Очевидно, что оптическая разность хода лучей Δ₁ в случае заполнения обеих кювет воздухом, равняется нулю. Из условия максимумов Δ₁ = m ₁λ = 0 следует, что и порядок максимума m ₁ в точке А тоже равен нулю.

При заполнении одной из кювет аммиаком оптическая разность хода лучей Δ₂ в этой точке составит

 

Δ₂ = n_а l - n l = m ₂λ, (1.17)

 

где m ₂ – новый порядок максимума, который по условию задачи равняется m ₂ = m ₁ + N. Из-за этого интерференционная картина и во всех точках экрана сместилась на N полос. Отсюда следует

 

n_а l - n l = m ₂λ = (m ₁ + N) λ;

 

m ₁ + N

n_а = n + ––––––– λ;

l

0 + 17

n_а = n + 1,000277 + ––––––– ∙589∙10^-9 = 1, 001278.

10^-2

Следует обратить внимание на высокую точность измерения показателя преломления таким методом.

 

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Дифракция света – это огибание волнами препятствий по размерам сравнимых с длиной волны излучения, вследствие чего волны отклоняются от своего прямолинейного распространения. Это явление имеет место для волн любой природы - механических, электромагнитных и т. д.

Радиусы зон Френеля для сферических волн

 

(1.18)

для плоских волн

 

(1.19)

 

где а и b – расстояния от источника волны до препятствия и от препятствия до точки наблюдения соответственно; m – номер зоны; λ - длина волны.

При дифракции плоской световой волны на прямоугольной бесконечно длинной щели шириной а условие дифракционных максимумов

 

(1.20)

 

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Поляризованным называется свет, в котором колебания вектора напряженности электрического поля Е (светового вектора), упорядочены каким либо образом. Если световой вектор электромагнитной волны колеблется в определенной плоскости, его можно назвать плоскополяризованным., или неполяризованный свет имеет всевозможные направления колебания вектора Е. Световой вектор при этом всегда перпендикулярен направлению распространения световой волны, поэтому можно сказать, что электромагнитные волны поперечно поляризованы. На рис.8 показано, как изображаются волны различной поляризации.

Устройства, позволяющие получить плоскополяризованный свет, называются поляризаторами.

Закон Малюса для плоскополяризованного света имеет вид

 

I = I ₀ cos² α, (1.27)

 

где I ₀ и I — интенсивность плоско­поляризованного света, па­дающего и прошед­шего че­рез идеальный поляризатор; α — угол между плос­костью по­ляризации падающего све­та и главной плоскостью поляризатора.

Если через поляризатор пропускать естественный свет, то угол α будет быстро и беспорядочно принимать с равной вероятностью все значения от 0 до 90˚, и интенсивность света, прошедшего через поляризатор

 

I = I ₀ <cos² α> = 0,5 I _0, (1.28)

 

где <cos² α> = 0,5 – среднее значение cos² α за достаточно большой промежуток времени.

Закон Брюстера (1.29)

где i _Б — угол Брюстера, при котором отраженный от поверхности диэлектрика свет полностью поляризован; n ₁ и n ₂ — показатели преломле­ний первой и второй сред.

Вещества, вращающие плоскость поляризации световой волны, называются оптически активными.

Угол поворота плоскости поляризации оптически активными кристаллами и чистыми жидкостями

φ = α d, (1.30)

 

оптически активными растворами

φ = [α] d C, (1.31)

 

где d – толщина слоя оптически активного вещества; С - его массовая концентрация.

Некоторые прозрачные кристаллы, являясь анизотропными веществами, обладают свойством двойного лучепреломления, т. е. при попадании на него луч света раздваивается на два луча – обыкновенный (о) и необыкновенный (е) с разными свойствами. У них разные законы преломления и показатели преломления n _о и n _е , взаимно перпендикулярная поляризация.

Двойное лучепреломление может возникать и в изотропных телах, которые становятся анизотропными под воздействием электрического поля напряженности Е (эффект Керра). Разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в этом случае

n _о- n _е = k Е ², (1.32)

 

где k - постоянная Керра данного материала.

 

ПРИМЕР. Естественный свет проходит через систему из трех одинаковых поляроидов, в каждом которых из-за отражения и поглощения света теряется 20% падающего на него излучения. Плоскости поляризации первого и второго поляроидов составляют угол α ₁ = 30˚, а первого и третьего – 90˚ (рис.9). Во сколько раз уменьшится интенсивность света, вышедшего из этой системы?

 

РЕШЕНИЕ. Обозначим интенсивности естественного света, падающего на первый поляризатор П₁ через а I ₀, вышедшего из первого, второго и третьего поляроидов – I ₁, I ₂и I ₃ соответственно. Пластинками П₁, П₁, П ₃ изобразим поляроиды, пунктирными прямыми ОО₁, ОО₂ , ОО₃ укажем положение их плоскостей поляризации. После прохождения каждого из поляризаторов колебания светового вектора Е будет происходить параллельно ОО₁, ОО₂ , ОО₃. Рассмотрим прохождение света последовательно через каждый поляроид. Если бы поляроиды были идеальными, то интенсивности света, проходящего через них, можно было определить по формулам (1.28) и (1.27). С учетом 20% потерь запишем:

 

 

I ₁ = 0,5 I ₀ (1- 0,2);

 

I ₂ = I ₁ cos² α₁(1- 0,2) = 0,5 I ₀ (1- 0,2)²;

 

I ₃ = I ₂ cos² (α₂ -α₁) (1- 0,2) = 0,5 I ₀ (1- 0,2)³.

 

Тогда

т.е. интенсивность вышедшего света уменьшится в 20,8 раз.

 

ПРИМЕР. Определить показатель преломления прозрачного вещества, если угол Брюстера при падении на него света из воздуха оказался равным предельному углу.

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомый показатель преломления n _х, показатель преломления воздуха n ₁. Закон Брюстера (1.29) запишем в виде

 

(1.33)

т.к. для воздуха n ₁ = 1.

Полное внутреннее отражение имеет место при переходе светового луча из неизвестной прозрачной среды в воздух. Используем закон преломления света (1.3) с учетом, что β = 90˚ и sin 90˚= 1

 

(1.34)

 

Преобразуем формулу (1.33) следующим образом:

 

(1.35)

 

Учитывая, что по условию задачи i _бр = α_пр, имеем

 

(1.36)

 

Подставив вместо sin α_пр величину 1/ n _х, согласно уравнению (1.34), получим

 

(1.37)

 

Произведем замену переменных n _x² = t. Тогда последнее уравнение (1.37) примет вид

t ² - t - 1= 0.

Оно имеет два решения:

 

 

Исходя из физического смысла, выберем решение

 

 

Тогда

 

С ВЕЩЕСТВОМ

Дисперсией света называется явлениезависимость показателя преломления вещества от длины волны (или частоты) падающего излучения.

Качественной характеристикой этого явления служит производная от показателя преломления по длине волны, называемая дисперсией вещества D:

d n

D = –––. (1.38)

d λ

 

При нормальной дисперсии показатель преломления вещества уменьшается с увеличением длины волны, и d n / d λ < 0. Это имеет место для всех прозрачных бесцветных материалов.

При аномальной дисперсии показатель преломления увеличивается с увеличением длины волны и d n / d λ > 0. Этот случай наблюдается вблизи полос поглощения света.

Согласно молекулярной теории дисперсии света вдали от областей поглощения света

(1.39)

 

где ε – диэлектрическая постоянная вещества; ω ₀ – собственная частота колебаний молекул; ω – частота падающего излучения; m и e – масса и заряд электрона.

Строго монохроматическая волна распространяется со скоростью

 

ω λ λ с

v = ω / k = -––- = ν λ = ––- = –––-, (1.40)

2π Т n

 

которая называется фазовой скоростью. Здесь λ – длина волны; k = 2π /λ –волновое число (измеряется в 1/м, м^-1); Т - период колебаний; с – скорость волны в вакууме.

Пакет (группа) волн в диспергирующей среде распространяется с групповой скоростью

d ω

u = –––-. (1.41)

d k

Связь междуфазовой и групповой скоростями описывается формулой Рэлея

dvdv

u = v + k –––- = v - k –––-. (1.42)

d k d λ

 

Из этой формулы видно, что в зависимости от знака dv/d λ групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. В недеспергирующей среде dv/dλ =0, и обе скорости совпадают.

 

ПРИМЕР. Показатели преломления дистиллированной воды для света длин волн λ₁ = 486 нм и λ₂ = 509 н соответственно равны n ₁= 1,3371 и n ₂ = 1, 3360. Определить средние значения фазовой и групповой скоростей в этом интервале длин волн.

 

РЕШЕНИЕ. Считая, что показатель преломления в заданном интервале длин волн изменяется линейно, среднюю фазовую скорость v определим как среднюю арифметическую скоростей v₁ и v₂, которые найдем из соотношений v₁ = с / n ₁ и v₂= с / n _2, где с – скорость света в вакууме.

 

v₁ + v₂ с 1 1 3∙10⁸ 1 1

<v> = ––––––- = –– (–- + ––-) = –––– (–––––- + ––––––-) = 1,24∙10⁸ м/с.

2 2 n ₁ n ₂ 2 1,3371 1, 3360

 

При определении групповой скорости заменим производную dv/dλ приращениями Δv/Δλ, что вполне обоснованно при малых интервалах Δv и Δλ, как в нашей задаче. Тогда средняя групповая скорость будет равна

 

 

 

Отметим, что групповая скорость в данной задаче меньше фазовой, т.е. мы находимся в области нормальной дисперсии. Это следует и из условия задачи, поскольку показатель преломления воды уменьшается с увеличением длины волны.

При прохождении света через поглощающее вещество интенсивность света ослабляется по закону Бугера

 

(1.43)

Здесь I₀, I – интенсивности света на входе и выходе из поглощающего слоя толщиной d; k – коэффициент поглощения излучения (измеряется в 1/м, м^-1); е – основание натурального логарифма, е = 2,72. Для растворов k = βс, где с – концентрация растворенного вещества; β – коэффициент поглощения на единицу концентрации вещества.

 

ПРИМЕР. Пучок монохроматического света поочередно пропускают через две пластинки толщиной d = 1 см. Коэффициент поглощения первой пластинки в 4 раза меньше коэффициента поглощения второй. Интенсивность света на выходе из второй пластинки в 3 раза меньше, чем из первой. Коэффициенты отражения света от поверхностей пластинок одинаковы. Определить коэффициенты поглощения k ₁ и k ₂ обеих пластинок.

 

РЕШЕНИЕ. Пусть интенсивность света, падающего на пластинки I₀, коэффициент отражения света каждой пластинки r. Тогда из первой пластины выйдет свет интенсивности

 

 

из второй-

 

 

Учитывая, что k ₂= 4 k ₁, найдем отношение интенсивностей

 

 

Прологарифмируем правую и левую части последнего выражения:

 

 

Подставим числовые значения и определим k ₁ и k ₂:

 

 

 

ФОТОНЫ

Согласно квантовой теории свет может испускаться и поглощаться только порциями (квантами). Энергия кванта света, или фотона определяется как

 

ε = hν = ћω = hc /λ, (1.44)

где h= 6,63∙10^-34 Дж∙с, ћ = h /2π = 1,02∙10^-34 Дж∙с – постоянные Планка; ν и ω – частоты и циклическая частоты излучения; – длина волны излучения; с = 3∙10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

 

Импульс фотона

р = mc = ε / c = hν / с = ћω/с =h / λ. (1.45)

 

При соударении с поверхностью фотоны передают ей импульс, вследствие чего возникает световое давление Р. При нормальном падении светового потока на поверхность с коэффициентом отражения давление света равно

Е _е

Р = ––––(1 + ρ) или Р = ω (1 + ρ), (1.46)

с

где Е _е = W / St = Nhν / St – облученность поверхности, т.е. энергия всех N фотонов, падающих в единицу времени на поверхность площадью S; – объемная плотность энергии излучения.

 

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Испусканиеэлектромагнитных волн за счет внутренней энергии тела называется тепловым излучением. Оно возникает всегда при температуре выше 0 К, поэтому испускается всеми телами, но далеко не всегда воспринимается глазом как свечение. Если объект полностью поглощает падающее излучение всех длин волн, ничего не отражая, то его называют абсолютно черным телом. Поглощательная способность таких тел а _λ,Т равна единице. Для так называемых “серых” тел а _λ,Т < 1

Нагретое тело излучает электромагнитные волны различных длин волн. Спектральной плотностью энергетической светимости называется величина r(λ), равная отношению мощности излучения единицы поверхности нагретого тела в спектральном диапазоне dλ. Пользуясь квантовыми представлениями М. Планк получил зависимость спектральной плотности энергетической светимости черного тела зависит от длины волны r (λ,Т) (или частоты излучения r (ν,Т) и температуры в следующем виде:

 

(1.53)

 

Из последних соотношений следует закон Стефана-Больцмана для абсолютно черных тел, чаще всего применяемый для решения практических задач:

 

R = σ T ⁴, (1.54)

 

где R = W / St = N / S называется интегральной светимостью нагретого тела при термодинамической температуре Т, измеряемой в системе единиц СИ в кельвинах (К); W и N -- соответственно энергия и мощность, излучаемые нагретой поверхностью площадью S за время t; σ = 5,67 ∙10^-8 Вт/м²∙ К⁴ - постоянная Стефана-Больцмана.

Для “ серых ” тел закон Стефана-Больцмана имеет вид

 

R = а _λ,Т∙σ T ⁴. (1.55)

 

Два закона Вина также являются следствием формул Планка (1.53).

Первый закон (закон смещения) Вина:

 

λ_max = b / T, (1.56)

 

где λ_max -- длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b = 2,89∙10^-3 м∙К -- постоянная Вина. Этот закон выполняется и для “ серых ” тел.

Второй закон Вина:

 

r (λ,Т)_мах = с´ / Т ⁵, (1.57)

 

r (λ,Т)_мах - максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости черного тела; постоянная с´ = 1,30∙10^-5 Вт/(м²∙К⁵ ).

 

ПРИМЕР. Муфельная печь потребляет мощность N ₀ = 1 КВт. Температура Т внутренней поверхности печи при открытой дверце площадью S = 25см² равна 1200 К. Считая, что через открытую дверцу печь излучает как абсолютно черное тело, определить, какая часть ее мощности рассеивается стенками печи. Какова частота излучения, соответствующая максимуму излучательной способности печи?

 

РЕШЕНИЕ. Определим мощность излучения N через открытую дверцу печи из выражения (1.54):

N = R S = σ T ⁴ S;

N = 5,67 ∙10^-8 Вт/м²∙ К⁴ ∙(1200К)⁴∙2510^-4 м² = 293,9 Вт.

 

Потери мощности за счет рассеивания тепла стенками печи

Δ N = N - N ₀.

 

Доля рассеиваемой мощности

Δ N / N ₀= (N - N ₀)/ N ₀;

 

Δ N / N ₀ = (1000 Вт - 293,9 Вт)/ 1000 Вт = 708,1/1000 = 0,71 = 71 %

 

Частота излучения, соответствующая максимуму излучательной способности печи

 

ν _мах = с / λ _мах (с - скорость света в вакууме)

 

или с использованием закона смещения Вина (1.56)

 

ν _мах= с T / b;

 

ν _мах= 3 ∙10⁸⁽м/с) ∙1200/2,89∙10^-3 м∙К = 12,5∙10¹³ Гц.

 

 

ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Суть этого явления заключается в изменении длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на свободных электронах (или других частицах) вещества:

h

Δλ = λ´ - λ = ----- (1 - cosθ) = λ_c(1- cosθ) = λ_c sin ²θ. (1.58)

m ₀ c

 

Здесь λ и λ´ - длины волн падающего и рассеянного излучений; Δλ - изменении длины волны при эффекте Комптона; θ- угол рассеяния фотона; m - масса покоя электрона (либо другой частицы); h - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме; λ_c = h/ m ₀ c - так называемая комптоновская длина волны, равная 2,43 пм при рассеянии излучения на электронах. Эффект Комптона является ярким примером корпускулярных свойств электромагнитного излучения.

 

ПРИМЕР. Фотон с энергией ε = 0,750 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом 60˚. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить:

1) энергию рассеянного фотона ε´;

2) кинетическую энергию W _e и направление движения электрона отдачи.

 

РЕШЕНИЕ. Ввиду громоздкости математических преобразований данную задачу удобнее решать не в общем виде, а с промежуточными вычислениями.

1) Найдем длину волны падающего излучения, зная его энергию:

 

hс 6,63∙10^-34 Дж∙с∙3 ∙10⁸ м/с

λ = -----; λ = --------------------------------- = 1,675∙10^-12м = 1,675 пм.

ε 0,750∙10⁶∙1,6∙10^-19Дж

 

По формуле Комптона (1.58) вычислим разность длин волн после и до рассеяния:

Δλ = λ´ - λ = λ_c(1- cos60˚);

 

Δλ = 2,43(1 - 0,5) = 1,215 пм.

 

Отсюда следует, что длина волны рассеянного излучения

 

λ´ = λ + Δλ; λ´ = 1,675 пм +1,215 пм = 2,890 пм = 2,890∙10^-12 м.

 

ОПТИКА

В этом разделе изучаются законы излучения, поглощения и распространения света. Свет имеет двойственную природу: он проявляет себя и как поток частиц - фотонов (квантов света), и как. электромагнитное излучение (электромагнитная волна). Это свойство называется корпускулярно - волновым дуализмом света. В одних явлениях более выражены волновые свойства света (интерференция, дифракция, поляризация), в других – корпускулярные (фотоэффект, тепловое излучение, эффект Комптона). Ряд оптических явлений к настоящему времени удалось объяснить и с волновых, и с корпускулярных (квантовых) позиций.

ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА

Из­вестно, что в оп­тически однород­ной среде свет рас­простра­няется прямолинейно с постоянной скоростью v. Величина

 

n = с/ v (1.1)

 

называется абсолютным показателем преломления среды.

Здесь с = 3∙10⁸ м/с - скорость света в вакууме.

При падении света на границу раздела двух сред происходит отражение и преломление луча (рис.1). Угол падения светового луча равен углу отражения, т. е.

α = α′. (1.2)

 

Это условие называют законом отражения.

Луч падающий, отраженный и преломленный, а также перпендикуляр, проведенный в точку падения, лежат в одной плоскости. Причем

 

(1.3)

где n₁ и n₂ - абсолютные показатели преломления первой и второй сред; n_{21 -} относительный показатель преломления второй среды относительно первой; β - угол преломления светового луча.

Последнее выражение является законом преломления света.

Как видно из (1.3), при падении света из среды, оптически менее плотной, в среду с большей оптической плотностью (n₁ ‹ n₂ ) угол преломления β меньше угла падения α. В обратном случае (при n₁ › n₂) угол β больше угла α (рис. 2), и возможна такая ситуация, при которой преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред (рис. 2, пунктир), т. е β = 90 º.

Угол падения, соответствующий этому случаю называется предельным (α_пр). При падении света под углом большим предельного преломленный луч во вторую среду вообще не выходит, а, отражаясь от границы раздела, возвращается в первую среду. Это явление носит название полного внутреннего отражения.

 

ПРИМЕР. На плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5 и толщиной d = 5 см падает луч лазера под углом α = 30º и выходит параллельно первоначальному лучу. Определить расстояние l между вышедшими лучами.

 

РЕШЕНИЕ. Ход лучей в пластинке изображен на рис. 3. Используя закон преломления света, найдем угол β:

 

 

Отсюда следует, что угол β = 19º30′.

Расстояние l между лучами можно найти из ∆ BED:

l = BD∙cos α.

 

Отрезок BD определим, рассмотрев ∆ BСD:

 

BD = 2ВК = 2d tg β.

 

Тогда

l = 2d∙tg β∙cos α =2d∙tg 19º30′ ∙cos 30º = 2∙5∙0, 3541∙0,8665 = 0,3063 (см).

 

ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА В ЛИНЗАХ

 

Линзами называются объекты из прозрачных материалов, ограниченные с двух сторон преломляющими поверхностями, чаще всего сферическими. Линзы бывают двояковыпуклыми, двояковогнутыми, плосковыпуклыми, плосковогнутыми и т.д. При этом плоскую поверхность можно рассматривать как сферическую бесконечно большого радиуса кривизны.

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления линзой пересекаются лучи, падающие на линзу параллельно ее оптической оси. Расстояние F от фокуса до центра линзы называется фокусным расстоянием линзы.

Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, выполняется соотношение

(1.4)

 

где а и в - соответственно расстояния от линзы до объекта и от линзы до изображения; R₁ и R₂ - радиусы кривизны ограничивающих поверхностей; F - фокусное расстояние линзы; D = 1/F - оптическая сила линзы(в системе СИ измеряется в диоптриях, дптр). Все расстояния, отсчитываемые по ходу луча, берутся со знаком “+” против хода луча - со знаком “-”.

Увеличением линзы k называется отношение размера изображения к размеру объекта.

 

ПРИМЕР. На расстоянии а = 25 см от двояковыпуклой линзы Л оптической силой D = 10 дптр поставлен предмет высотой АВ= 3 см. Найти положение и высоту изображения предмета А₁В₁, а также увеличение линзы k.

 

РЕШЕНИЕ. Определим фокусное расстояние линзы

 

F = 1/ D = 1/10 =0,1 (м).

 

Построим изображение объекта АВ. Для этого от каждой из точек А и В нужно провести не менее двух лучей. Проведем лучи АВ₁ и ВА₁ через центр линзы; при этом они не изменяют своего направления. Еще два луча, идущие от точек А и В параллельно оптической оси, проходят через фокус линзы F. В результате построения видим, что полученное изображение является действительным, обратным и уменьшенным.

По формуле (1.4) найдем расстояние в от линзы до изображения:

 

Из подобия треугольников АОВ и А₁ОВ₁ следует, что

 

А₁В₁ = АВ ∙ в / а = 3∙0,16/0,25 = 1,82 (см)

 

Увеличение линзы k = А₁В₁ /АВ = 1,82/3 = 0,66.

 

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

 

При сложении двух когерентных волн интенсивностей I ₁ и I ₂ интенсивность I результирующей волны равна

____

I = I ₁ + I ₂ + 2√ I ₁ I ₂ соs δ, (1.5)

 

где δ - разность фаз складывающихся волн.

В тех точках пространства, где соs δ › 0, результирующая интенсивность больше суммы интенсивностей исходных волн,т.е. I › I ₁ + I ₂. А там, где соs δ ‹ 0, наоборот - результирующая интенсивность меньше суммы интенсивностей исходных волн - I ‹ I ₁ + I ₂.

Следовательно, происходит перераспределение энергии светового потока: в одних местах