Сутність та види невизначеності

У процесі функціонування суб’єкти підприємництва зазнають впливу ряду чинників — соціально-політичних, адміністративно-законодавчих, виробничих, комерційних, фінансових тощо. Майбутній розвиток ситуацій, кінцеві результати господар­ських операцій спрогнозувати дуже складно, оскільки прийняття рішень в економіці на всіх рівнях управління відбувається в умовах неоднозначності розвитку, неможливості точного прогнозування певних подій, неповної чи недостовірної інформації. Усунути невизначеність майбутнього в підприємницькій діяльності неможливо, тому що вона являє собою елемент об’єктив­ної дійсності.

Умови невизначеності є предметом досліджень й об’єктом постійного спостереження з боку економістів та спеціалістів інших сфер. Одним із перших учених, який займався вивченням проблеми невизначеності в рамках сучасної економічної теорії, був Френк Найт.

З погляду економічної теорії невизначеність — це об’єктивна неможливість здобуття абсолютного знання про об’єктивні та суб’єктивні фактори функціонування системи, неоднозначність її параметрів. Чим більша невизначеність під час прийняття господарського рішення, тим більший ступінь ризику.

Кількісно невизначеність може виступати як можливість відхилення результату від очікуваного (або середнього) значення як у менший, так і в більший («спекулятивна» невизначеність) бік, або можливість тільки негативних відхилень кінцевого результату події («чиста» невизначеність) [30].

Основні причини невизначеності схематично подано на рис. 4.1.

 

Рис. 4.1. Основні причини невизначеності

Економіка ринкового типу передбачає існування найрізноманіт­ніших видів невизначеності для всіх суб’єктів господарювання (рис. 4.2). Найпоширенішою є класифікація невизначеності за ступенем настання події. Ця класифікація дає можливість розрізнити повну та часткову невизначеність, повну визначеність. Часткова чи повна невизначеність пояснюється тим, що, по суті, економічні проблеми зводяться до задач вибору з деякої кількості альтернатив. При цьому економічні суб’єкти не мають повної інформації про стан систем для розробки оптимального рішення й достатніх можливостей для адекватного обліку всіх доступних даних. Невизначеність інформації можливо зняти, визначивши ймовірність, з якою можна очікувати цю інформацію. Залежно від засобів визначення ймовірності розрізняють два типи невизначе­ності — статистичну та нестатистичну. Якщо мається на увазі статистична невизначе­ність, то іноді кажуть, що рішення приймається в умовах ризику, якщо нестатистична — то рішення приймається в умовах неви­значеності. У чистому вигляді той чи інший вид імовірності трапляється рідко — найчастіше можна зустріти мішаний вид.

Рис. 4.2. Схема видової класифікації невизначеності

Розвиток фірми в умовах ринкової економіки на кожному етапі повинен формуватися з врахуванням різних видів невизначеності. Чинники невизначеності, що впливають на будь-який ринковий суб’єкт, також наявні безпосередньо в процесі управління ним. За місцем виникнення невизначеність в управлінні підприємством (фірмою) може бути наслідком:

· невизначеності у встановленні планового періоду і, зокрема, періоду, на який розробляється стратегія розвитку підприємства;

· невизначеності формування цілей підприємства та вибору пріоритетів у визначених цілях, що може бути зумовлено наявніс­тю ряду альтернативних цілей;

· помилок в оцінках дійсного стану справ усередині самого підприємства та його місця на ринку, до чого, у свою чергу, може призвести ряд причин об’єктивного та суб’єктивного характеру;

· неповної або помилкової інформації стосовно перспектив розвитку даного підприємства й ринку в цілому, рішень, прийнятих на її підставі;

· можливих перебоїв у розробці чи реалізації стратегії розвитку підприємства; невизначеності контролю й оцінки результатів діяльності підприємства.

Таким чином, невизначеність виступає невід’ємним атрибутом прийняття господарських рішень. Але слід зазначити, що вона не завжди є негативним фактором, оскільки усвідомлення фак­ту її існування мотивує до самостійного розв’язання господар-
ських завдань, веде до ініціативності та творчого пошуку.

На практиці зниження рівня невизначеності, необхідне для прийняття господарських рішень, забезпечується:

Ø збором інформації, що зменшує невизначеність очікувань;

Ø обробкою інформації методами аналізу, прогнозу, сценарію та з’ясуванням причин, форм і наслідків невизначеності;

Ø розробкою моделей, адекватних ситуаціям, що мають місце, і здобуттям у результаті моделювання значень цільових величин, функціональних залежностей станів об’єкта управління та навколишнього середовища.

4.2. Критерії прийняття рішень
в умовах невизначеності

Багато рішень у підприємницькій діяльності доводиться приймати в умовах, коли необхідно вибирати напрями дій з кількох можливих варіантів, результати здійснення яких важко спрогнозувати. Невизначеність виступає основною характеристикою недостатньої забезпеченості процесу прийняття економічних рішень знаннями щодо певної проблемної ситуації.

На теоретичному рівні ця ситуація досить добре розроблена, проте на практиці застосування формалізованих алгоритмів аналізу обмежене. Основні труднощі полягають у тому, що неможливо оцінити ймовірність появи наслідків прийнятих рішень. Для вибору оптимальної стратегії в ситуації невизначеності використовують кілька критеріїв. Кожен з критеріїв передбачає як оптимальне рішення використовувати тільки одну конкретну стратегію («чисту» стратегію). Але в деяких випадках краще не дотримуватися одної стратегії, а застосовувати декілька («мішану» стратегію). За наявності кількох альтернативних станів зовнішнього середовища і внутрішніх умов підприємства, їм відповідають належні значення цільових функцій. Якщо жодна з альтер­натив не домінуватиме, то постає задача вибору рішення із застосуванням правил і критеріїв теорії прийняття рішень. Наведемо кілька загальних критеріїв раціонального вибору варіантів рішень з безлічі можливих. Критерії засновані на аналізі матриці можливих станів навколишнього середовища й альтернатив рішень.

Для прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику за допомогою статичної ігрової моделі вхідна інформація подається у вигляді матриці, рядки якої — це можливі альтернативні рішення, а стовпчики — стани системи (середовища).

Кожній альтернативі рішень і кожному стану системи (середовища) відповідає результат (наслідок рішення), який визначає витрати або виграш за вибору даної альтернативи рішення та реалізації даного стану системи.

У дискретному випадку дані задаються у формі матриці, представленої в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Матриця прибутків

	S 1	…	Sm
A 1	a 11	…	a 1 m
…	…	…	…
An	an 1	…	anm

 

А_і — альтернатива і -го рішення (і = n);

S_j — можливий j -стан навколишнього середовища (j = 1, m);

a_ij — результат (наслідок рішення).

У загальному вигляді a_ij — неперервна функція аргументів А_і та S_i, що позначає вартість капіталу, прийняту альтернативою j за стану навколишнього середовища і.

Матриця придатна для ситуації, коли:

· існує кінцева кількість розглянутих альтернатив дій і станів навколишнього середовища;

· має місце функція результатів, яка зараховує кожній альтернативі однозначний ефект у формі, наприклад, вартості капіталу, доходів, прибутків тощо;

· вартість капіталу чи отриманий прибуток (зазнаний збиток) буде єдино важливою цільовою величиною.

Альтернативи в зазначених умовах можуть вибиратися за одним із критеріїв, поданих у табл. 4.2, відповідно до правил прийняття рішень. Нехай кожна альтернатива має однозначний ефект у формі вартості капіталу.

Для вибору оптимальної стратегії в ситуації невизначеності використовуються різні правила та критерії (див. табл. 4.2).

Таблиця 4.2

Характеристика критеріїв обґрунтування
господарських рішень в умовах невизначеності

Правило (критерій)

Характеристика

Правило максимін (критерій Вальда)

Вважається фундаментальним критерієм. Називають критерієм песиміста, оскільки він орієнтується на кращий з гірших результатів. Особа, що приймає рішення, в цьому випадку мінімально готова до ризику. Припускаючи максимум негативного розвитку стану навколишнього середовища, вона не стільки бажає виграти, скільки не програти. За цим критерієм обирається стратегія, що гарантує максимальне значення найгіршого виграшу (стратегія фаталізму). Для цього у кожному рядку матриці фіксують альтернативи з мінімальним значенням вартості капіталу і з відзначених мінімальних вибирають максимальне. Альтернативі а * з макси­мальним значенням із усіх мінімальних надається пріоритет. Використовується в тих ситуаціях, коли обирається стратегія управління, виходячи з вимоги отримання максимально можливого прибутку (виграшу) в найгірших умовах. Можна застосовувати у випадках, коли: помилки у виборі стратегії поведін­ки можуть призвести до катастрофічних наслідків; коли рішення можна застосовувати тільки один раз і в майбутньому його вже не вдасться змінити

Закінчення табл. 4.2

Правило (критерій)	Характеристика
Правило максимакс	Критерій оптимізму відповідає оптимістичній наступаль­ній стратегії. При цьому не береться до уваги ніякий можливий результат, крім найкращого. Відповідно до цього правила вибирається альтернатива з найвищим досяжним значенням вартості капіталу. Особа, що приймає рішення, не враховує ступінь ризику від несприятливої зміни навколишнього середовища. Використовуючи це правило, визначають максимальні зна­чення для кожного рядка та вибирають найбільше з них. Спільний недолік правил максимакса й максиміна — використання тільки одного варіанту розвитку ситуації для кожної альтернативи в обґрунтуванні рішень
Правило мінімакс (критерій Севіджа)	Мінімакс орієнтований на мінімізацію жалю з приводу втраченого прибутку й допускає розумний ризик заради отримання додаткового прибутку. Розрахунок критерію складається з чотирьох етапів: 1. Знаходимо кращий результат кожної графи (максимум aij). 2. Визначаємо відхилення від кращого результату кожної окремої графи, тобто max i aij – aij. Отримані результати створять матрицю ризику (жалю), тому що її елементи — це недоотриманий прибуток від невдало прийнятих рішень, допущених через помилкову оцінку можливої реакції ринку. 3. Для кожного рядка матриці жалю знаходимо максимальне значення. 4. Обираємо рішення, за якого максимальний жаль буде меншим, ніж за інших рішень. Критерій використовується тоді, коли необхідно обрати стратегію захисту об’єкта від занадто великих утрат. Використання критерію Севіджа є доцільним тільки за умови достатньої фінансової стабільності підприємства, коли є впевненість, що випадковий збиток не призведе до повного краху
Правило Гурвіца	Відповідно до цього правила максимакс і максимін сполучаються зв’язуванням максимуму мінімальних значень альтернатив. Це правило називають ще правилом оптимізму — песимізму. Оптимальну альтернативу мож­на розрахувати за формулою: a ^* = αmax jaij + (1 – α)min jaij, де α — коефіцієнт оптимізму, α = 1..0 (коли α = 1, альтернатива вибирається за правилом максимакс, якщо α = 0 — за правилом максимін). В основу правила покладено використання критерію Гурвіца. Застосовуючи правило Гурвіца, враховують більш істотну інформацію, ніж у разі використання правил максимін і максимакс

Приклад розрахунку критеріїв для прийняття рішень в умовах невизначеності подано в розділі 5.

4.3. Теорія корисності в системі
процесів прийняття рішень

Проблема раціонального вибору є однією з головних економіч­них задач. Її постійно розв’язують основні суб’єкти економіки — виробники та споживачі. Виробники намагаються найвигідніше вкласти капітал у виробництво товарів, які приносять дохід. Споживачі бажають придбати продукцію з високою споживчою цінністю та за прийнятною ціною. Кожна з цих задач розв’я­зується в умовах ризику. Результати рішень залежать від випадкових величин, які характеризуються ймовірнісними функціями розподілу. Для того, щоб порівнювати їх ефективність, необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. Для задач прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності принцип оптимального вибору часто описується за допомогою функції корисності.

Корисність виражає ступінь задоволення особи від споживання товару чи виконання будь-якої дії. В економічному аналізі корисність часто застосовується для того, щоб описати пріоритет у ранжуванні наборів споживчих товарів і послуг. Основним припущенням економічної теорії є припущення про те, що людина завжди робить раціональний вибір. Поняття функції корисності дає можливість зіставити споживчий ефект від купівлі (продажу) різних, навіть фізично несумісних, товарів (ефект від купівлі однієї сорочки й однієї книги). Корисність розглядається як певним чином узагальнені втрати чи виграші, коли всі цінності зведено до однієї шкали. Корисність вимірюють у довільних одиницях, що називаються одиницями корисності, які можна пов’язати з іншими одиницями, наприклад, грошовими. Цей зв’язок і визначає величину корисності для особи, що приймає рішення. Людина завжди обирає той варіант, корисність якого, на її думку, максимальна. Функцією корисності називається деяка функція , визначена на множині переваг, якщо вона монотонна, тобто з того, що , випливає . Цінні папери та майбутні інвестиції також є товаром, тому, з одного боку, їх ефектив­ності можна розрахувати, бо вони мають грошову оцінку. Але ризикові цінні папери або інвестиції гарантують отримання грошей у майбутньому, і тут зіставити їх ефективність неможливо. Встановлення будь-якого ступеня ризику, характеризуючи випадкову величину одним числом, є спробою подолати цю суперечність.

Аксіоми раціональної поведінки наведено у праці Дж. Фон Ней­мана та О. Моргенштерна. За умови виконання цих аксіом автори довели теорему про існування деякої функції, що регулює раціональний вибір, — функції корисності [31].

Аксіома 1 (повноти). Коли підприємець стикається з двома будь-якими рядами подій, він завжди може сказати, який йому більше до вподоби або йому байдуже, який із рядів подій вибрати. Ця аксіома записується у вигляді:

— X ≥ Y (X більше до вподоби, ніж Y, або байдуже);

— X ≈ Y (X і Y рівноцінні);

— X > Y (X більше до вподоби, ніж Y).

Завдяки аксіомі повноти споживач наділяється здатністю класифікувати (розрізняти) ряди подій, тобто вмінням порівнювати всі альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності). Перевага серед різних рядів подій послідовна, тобто, якщо ряд X > Y, Y > Z, то X > Z. Завдяки аксіомі транзитивності виключається мінливість смаків споживача.

Припустимо, що споживач віддає перевагу ряду подій f над рядом d, а ряду d над рядом b, ряду b над рядом подій f.

Отже, щоб господарювання було раціональне, підприємець повинен мати усталений смак, інакше він ніколи не зможе зробити правильний вибір.

Аксіома 3 (неперервності). В умовах аксіоми транзитивності відносно альтернатив X, Y, Z припустимо, що з імовірністю 1 індивід може отримати Y, з імовірністю p — X, а з ймовірністю
(1 – p) — Z. Тоді існує таке p, за якого ці дві лотереї для індивіда рівноцінні.

Аксіома 4 (незалежності). Нехай існують блага або товари X і Y, які, на думку індивіда, однакові, та дві лотереї, які відрізняються лише тим, що одна містить X, а друга — Y, тоді ці дві лотереї для індивіда однакові.

Аксіома 5 (нерівних імовірностей). Якщо індивіду запропонувати дві лотереї, які дають однаковий виграш із різною ймовірніс­тю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 6 (складеної лотереї). Коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, то індивід приймає рішення лише з міркувань імовірностей виграшу кінцевого призу.

Для визначення корисності використовують поняття лотереї [8]. Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:

1) значення показника X;

2) лотерею: отримати з імовірністю або з ймовірністю — .

Величину ймовірності змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника і лотерея стануть еквівалентними. Тобто всі можливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгіршого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100): .

Для того щоб оцінити проміжний результат, особі пропонують взяти участь у лотереї. Значення за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності: . Тобто із множини значень відомого показника експерт повинен розрахувати два: і — найбільш пріоритетне і найменш пріоритетне, для яких не гірше за , а не гірше за .

Корисність варіанту визначається ймовірністю — за якої експерту байдуже, що обирати: гарантовано або лотерею , де і — вектори, найбільш і найменш приоритетні порівняно з . Наприклад, маємо два варіанти:

1) отримати гарантовано 100 грн;

2) узяти участь у лотереї: або одержати 50 грн з імовірністю 0,4, або отримати 150 грн із відповідною ймовірністю 0,6.

Для кожної людини буде своє значення ймовірності, за якої їй байдуже, що обирати: гроші гарантовано або участь у лотереї. Імовірність перетворюють на корисність, помножуючи на 100, якщо корисність визначається за 100-бальною шкалою, або помножуючи на 10, коли за 10-бальною.

Нехай лотерея приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:

. (4.1)

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою:

. (4.2)

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Взаємозв’язок ризику з функціями корисності визначається поняттям детермінованого еквіваленту. Детермінований еквівалент лотереї — це гарантована сума отримання якої екві-
валентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто

. (4.3)

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одержати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.

Із теорії корисності можна зробити висновок, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду:

, (4.4)

тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної кориснос­ті. ОПР не схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.

Для функції корисності можна розрахувати премію за ризик у лотереї (p(х)) як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим еквівалентом:

. (4.5)

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб’єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уник­нути ризику, пов’язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід без ризику.

Коли особа, що приймає рішення, натрапляє на лотерею, менш пріоритетну, ніж стан, у якому вона в даний момент перебуває, то постає питання, скільки б вона заплатила (в одиницях вимірювання критерію X) за свою неучасть у цій лотереї (уникнення її).

Страхова сума (CC) — це величина детермінованого екві-
валента з протилежним знаком:

. (4.6)

Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:

, (4.7)

тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної кориснос­ті. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном униз. Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.

Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

. (4.8)

ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності лінійна, а графік — пряма.Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.

Розглянемо приклади функцій корисності:

Приклад 4.1

1. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, байдужого до ризику: U (х) = а + bх.

2. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, несхильного до ризику: U (х) = log(x + b), де х > – b.

3. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, схильного до ризику: U (х) = х ², де х > = 0.

 

У теорії ринку цінних паперів широко використовується квадратична функція корисності вигляду:

, (4.9)

де А — задане число.

Зміст цієї функції такий: інвестор вважає корисним для себе збільшити значення ефективності, але бажає уникнути відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше А, тим більше тенденція запобігання ризику, тобто А — міра несхильнос­ті до ризику, а 1/ А — міра схильності до ризику.

За допомогою функції корисності можна розраховувати ймовірність банкрутства:

, якщо ,

або 0, якщо ,

де K — початковий капітал.

Методика побудови функції корисності для будь-якого економічного показника складається з таких кроків:

Крок 1. Виявити найкращі та найгірші з можливих допустимих показників і присвоїти їм значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність оцінюється за 100-бальною шкалою).

Крок 2. Розглянути кілька проміжних показників і вказати їхнє значення корисності (кожним експертом окремо).

Крок 3. Розрахувати середні оцінки корисності проміжних значень, вказаних експертами.

Крок 4. Якщо спостерігається розсіювання значень якогось із показників, то потрібно повернутися до кроку 2, аби узгодити думки експертів для досягнення прийнятного діапазону розсіювання оцінок (кроки 2—4 можуть повторюватися кілька разів).

Крок 5. Визначення функції корисності через побудову функції регресії методом найменших квадратів (простіша функція корисності — рівняння прямої). Вид і аналітична форма функції корисності свідчить про відношення суб’єкта, що приймає рішення, до ризику.

Приклад 4.2

Визначення корисності за допомогою математичних функцій.

Умови задачі

Фірма має прийняти рішення на основі трьох показників ефек­тивності, застосовуючи різне відношення до ризику: несхильність, схильність, нейтральність. Показники ефективності задано лотереями: L 1 = (20; 0,4; 10), L 2 = (5; 0,5; 6), L 3 = (10; 0,7; 30).

Несхильність до ризику задана функцією корисності: U (x) =
= 1 – 2 e^{– 0,1 x} .

Схильність задано функцією корисності: U (x)= 0,4 х.

Нейтральність задано функцією корисності: U (x) = 4 + 1,2 х.

Необхідно: розрахувати премію за ризик (надбавку) та визначити, яким відношенням до ризику має скористатися фірма.

Розв’язання

1. Визначимо сподіваний виграш

Сподіваний виграш показує, яку середню ефективність може мати фірма від рішення не брати участі в лотереї.

2. Визначимо очікувану корисність показника ефективності за різних відношень до ризику (е = 2,71).

М ₁ = (1 – 2 е ^{– 0,1 · 20}) · 0,4 + (1 – 2 е ^{– 0,1 · 10}) · 0,6 = 0,4 – 0,8 / 2,71² –
– 1,2 / 2,71 = 1 – 0,109 – 0,443 = 0,448;

М ₂ = (0,4 · 20²) · 0,4 + (0,4 · 10²) · 0,6 = 64 + 24 = 88;

М ₃ = (0,4 + 1,2 · 20) · 0,4 + (4 + 1,2 · 10) · 0,6 = 11,2 + 9,6 = 20,8.

3. Визначимо детермінований еквівалент — гарантовану суму , отримання якої еквівалентно участі в лотереї. Це середнє значення показника ефективності за відповідного відношення до ризику:

а) несхильність до ризику: . З цього

б) схильність до ризику: , звідси ;

в) нейтральність: , звідси . Завжди має дорів­нювати .

,

; ; .

Премія за ризик у випадках несхильності до ризику показує, які кошти може втратити інвестор, не ризикуючи: (0,25 / 14) ×
× 100 % = 1,78 %.

Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, яку величину коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи:

(0,85 / 14) · 100 % = 6,07 %.

Премія за ризик у випадку нейтральності завжди 0.

Висновок: У даній ситуації краще ризикувати.

Приклад 4.3

Визначення корисності господарських рішень графічним методом.

Умови завдання

Підприємство має тимчасово вільні кошти — 10 000 грн і вирішує питання про їх використання за двома варіантами.

По-перше, можна вкласти гроші в деякий інвестиційний проект. У випадку невдачі підприємство втрачає свої гроші, а у випадку успіху — через рік отримує 40 000 грн.

По-друге, альтернативний варіант — вкласти гроші в банк під 9 % річних без ризику. У випадку вкладання коштів у інвестиційний проект спеціаліст з маркетингу вважає, що ймовірність успіху — 0,3.

Щоби прийняти рішення стосовно використання підприєм-
ством грошей, потрібно врахувати думки директора та бухгалтера. Відомості про погляди директора й бухгалтера щодо кориснос­ті різних сум доходів подано в табл. 1.

Таблиця 1

Корисність різних сум доходів на думку директора
й бухгалтера підприємства

Корисність із погляду	Дохід, тис. грн
Директора
Бухгалтера

Потрібно: визначити варіант вкладання коштів за допомогою критерію сподіваного доходу; побудувати два графіки корисності та визначити за ними відношення до ризику обох спеціалістів; визначити корисність доходів за умовами директора і бухгалтера та вказати, що порадить кожен із них за правилом сподіваної корисності.

Розв’язання

Спочатку розрахуємо сподівані доходи для обох варіантів вкладання коштів (табл. 2).

Таблиця 2