Исследование поведения функций и их графики

ДИФФиринциал

Производная функции f(x) есть некоторая функция f ’(x), произведенная из данной функции.Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. .

Рассмотрим функцию, заданную параметрически: x = φ(t), y = ψ(t). Покажем, что для нахождения производной y'_x, совсем необязательно находить выражение явной зависимости y от x.

Теорема 12. Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функции x=φ(t), y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t) ≠ 0, тогда :

Диффиринциал Производной функции γ=f(x) называется функция f'(x), равная пределу отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

где?х - приращение аргумента х.

Производная функция у обозначается также через у' и

Если функция γ=f(x) изображается кривой в декартовых координатах, то γ' при рассматриваемом значении аргумента выражает угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, т. е. γ'=tg α, где α - угол наклона касательной к оси X. Производная имеет не только геометрическое толкование, она выражает скорость изменения функции относительно аргумента, например скорость движения, интенсивность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т. п.

Если функция имеет в рассматриваемой точке производную, то она в этой точке непрерывна; таким образом, непрерывность является необходимым условием существования производной, но это условие не является достаточным, так как непрерывность не гарантирует существования производной. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x).Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx. Можно также записать:

Замечательные пределы 1) ; (Первый замечательный предел)

2) (Второй замечательный предел)Данный предел относят обычно к неопределенностям вида 1^∞. Раскрытие подобных неопределенностей как правило, связано с использованием второго замечательного предела.

 

 

Интегрирование тригонометрических выражений

• Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой , которая называется универсальной. Действительно,

,

Поэтому

где R₁(t) - рациональная функция от t.

Сумма (разность) матриц.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Обозначение: С = А + В = В + А.

Умножение матрицы на число.

Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

Свойства: a (А±В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример: Даны матрицы А = Произведение двух матриц.

Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено.

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:Обозначение: A×B = C;

Из приведенного определения видно, что каждый элемент матрицы С равен алгебраической сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В. Свойства:

1) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Транспонирование матриц

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

А = ; А^Т= ;

Замена переменной

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z =g (x) имеет на [a,b] непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g^' (x) dx = ∫f(z) dz, (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

∫ f(g(x)) g (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2) .

Определённый интеграл

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

 

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Пусть f (x) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [ a; ξ], где ξ ≥ a. Если существует конечный предел то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [ a; +∞), а несобственный интеграл сходится:

Если не имеет конечного предела при ξ → +∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа

(f - оригинал; F - изображение).

Запись

Условия на оригинал

 

1.

2. f - кусочно-непрерывна на R.

3. такие, что

Линейность

 

Теорема подобия

 

Если то

Теорема запаздывания

 

Если то

Теорема смещения

 

Если то

Дифференцирование оригинала

 

Если - оригинал, то

Если - оригинал, то

Интегрирование оригинала

 

Если то

Дифференцирование изображения

 

Если то

Интегрирование изображения

 

Если - оригинал, то
Изображение свертки (теорема умножения)

 

Если то

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1) эллипсоиды

— эллипсоиды,

— мнимые эллипсоиды;

2) гиперболоиды:

— однополостные гиперболоиды,

— двуполостные гиперболоиды;

3) параболоиды (p > 0, q > 0):

— эллиптические параболоиды,

— гиперболические параболоиды;

4) конусы второго порядка:

— конусы,

— мнимые конусы;

5) цилиндры второго порядка:

— эллиптические цилиндры,

— мнимые эллиптические цилиндры,

— гиперболические цилиндры,

— параболические цилиндры.

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞; ∞-∞; 1^∞; ∞⁰; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х₀

Различные уравнения прямой

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.

Теория

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) и B(x₁,y₁,z₁) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

 

РАСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ.Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀,z₀)до прямой Аx+By+C=0 вычисляется по формуле:

УРАВНЕИЕ плоскости

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂) N (x₃;y₃)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

;

;

Нормальное уравнение плоскости.

Углы

Угол между прямыми.

Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

Прямая L:

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между и .

Найдем , если

, т.к.

ДИФФиринциал

Производная функции f(x) есть некоторая функция f ’(x), произведенная из данной функции.Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. .

Рассмотрим функцию, заданную параметрически: x = φ(t), y = ψ(t). Покажем, что для нахождения производной y'_x, совсем необязательно находить выражение явной зависимости y от x.

Теорема 12. Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функции x=φ(t), y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t) ≠ 0, тогда :

Диффиринциал Производной функции γ=f(x) называется функция f'(x), равная пределу отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

где?х - приращение аргумента х.

Производная функция у обозначается также через у' и

Если функция γ=f(x) изображается кривой в декартовых координатах, то γ' при рассматриваемом значении аргумента выражает угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, т. е. γ'=tg α, где α - угол наклона касательной к оси X. Производная имеет не только геометрическое толкование, она выражает скорость изменения функции относительно аргумента, например скорость движения, интенсивность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т. п.

Если функция имеет в рассматриваемой точке производную, то она в этой точке непрерывна; таким образом, непрерывность является необходимым условием существования производной, но это условие не является достаточным, так как непрерывность не гарантирует существования производной. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x).Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx. Можно также записать:

Замечательные пределы 1) ; (Первый замечательный предел)

2) (Второй замечательный предел)Данный предел относят обычно к неопределенностям вида 1^∞. Раскрытие подобных неопределенностей как правило, связано с использованием второго замечательного предела.

 

 

Интегрирование тригонометрических выражений

• Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой , которая называется универсальной. Действительно,

,

Поэтому

где R₁(t) - рациональная функция от t.

Исследование поведения функций и их графики

При решении этой задачи находят:

1) область определения функции;

2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;

3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;

4) находят асимптоты;

5) критические точки и интервалы монотонности;

6) точки перегиба и интервалы выпуклости.

Замечание. Если функция f (x) четная, т.е. f (x) = f (–x), или нечетная, т.е. f (x) = – f (–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.

Завершают исследование функции построением ее графика.

Матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, сод ержащая m строк одинаковой длины.Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

1.

2.

3.

4.