Минимизация конечных автоматов

Два автомата называются эквивалентными, если они для любой последовательности символов из входного алфавита X выдают одинаковую последовательность символов из выходного алфавита Y. Переход от автомата M к эквивалентному автомату называется эквивалентным преобразованием автомата M. Можно ставить много задач о поиске автоматов, эквивалентных данному и обладающих заданными свойствами. Наиболее изученной является задача о минимизации числа состояний автомата: среди всех автоматов, эквивалентных автомату M, найти автомат с наименьшим числом состояний (минимальный автомат).

Пусть имеется автомат M=(Q, X, Y, d, l). Рассмотрим алгоритм Мили поиска минимального автомата. На каждом шаге алгоритма будем строить некоторое разбиение множества состояний Q на классы, причем разбиение на каждом шаге алгоритма будет получаться расщеплением некоторых классов предыдущего разбиения.

Шаг 1. Два состояния q и q¢ относим в один класс C_1j, если для каждого символа входного алфавита совпадают выходные символы для этих состояний, т.е. l(q, x)=l(q¢,x).

Шаг i+1. Два состояния q и q¢ из одного класса C_ij относим в один класс C_i+1,j, если для каждого символа входного алфавита осуществляется переход из состояний q и q¢ в состояния, принадлежащие одному и тому же классу C_is, т.е. d(q, x) и d(q¢,x) принадлежат одному и тому же классу. Если (i+1)-ый шаг не изменяет разбиения, то алгоритм заканчивается. Каждый класс соответствует состоянию минимального автомата.

Пример 5.4. Построим минимальный автомат для автомата, заданного следующей таблицей переходов.

3,0 2,1   1,1 6,0   5,0 2,1   5,1 6,0   5,0 4,1   2,0 1,1

Шаг 1. Разбиваем множество состояний на два класса по выходным символам:

1, 3, 5, 6 и 2, 4.

Шаг 2. Рассмотрим переходы в новые состояния для класса 1, 3, 5, 6 при входном символе 0:

1, 3, 5, 6 3, 5, 5, 2.

Состояния 3 и 5 принадлежат одному классу, а состояние 2 – другому. Следовательно, делаем разбиение класса 1, 3, 5, 6 на два новых класса: 1, 3, 5 и 6. После этого шага алгоритма имеем три класса: 1, 3, 5; 6 и 2, 4.

Шаг 3. Рассмотрим переходы в новые состояния для класса 1, 3, 5 при входном символе 1: 1, 3, 5 2, 2, 4. Так как состояния 2 и 4 находятся в одном классе, то нового разбиения на этом шаге не получим.

Шаг 4. Рассмотрим переходы в новые состояния для класса 2, 4 при входном символе 0: 2, 4 1, 5. Так как состояния 1 и 5 находятся в одном классе, то нового разбиения на этом шаге не получим.

Шаг 5. Рассмотрим переходы в новые состояния для класса 2, 4 при входном символе 1: 2, 4 6, 6. Нового разбиения на этом шаге не получим.

Окончательно, разбиение на классы имеет вид: 1, 3, 5; 6; 2, 4. Таблица переходов минимального автомата будет иметь следующий вид:

1,0 3,1   3,0 1,1   1,1 2,0

Состоянию 1 минимального автомата соответствует класс 1, 3, 5, состоянию 2 – класс 6, состоянию 3 – класс 2, 4.