Застосування ройових алгоритмів до розв’язування

Задач оптимізації

Ройові алгоритми, як вже було сказано, призначені для розв’язку задач оптимізації, або задач пошуку екстремуму(мінімального чи максимального значення). Одними з таких задач є задачі міжгалузевого балансу(МГБ).

МГБ в економіці – це метод аналізу взаємозв’язків між різними галузями (секторами) економічної системи. При виробництві продукції (товарів, виконанні робіт та надання послуг) в кожній галузі споживається продукція, що виробляється у своїй та всіх інших галузях економіки. Це означає, що кожна галузь виступає в системі міжгалузевих відношень одночасно як виробник, так і як споживач.

Мета міжгалузевого балансу – визначити, скільки продукції повинна виробити кожна галузь для того, щоб задовольнити всі потреби економічної системи в її продукції, тобто задовольнити як внутрішні потреби всіх галузей, так і потреби зовнішнього середовища (кінцевий попит: задоволення особистих потреб людей, суспільних потреб, накопичення продукції, експорт продукції).

Сутність принципу балансу – все, що випускається (вал), дорівнює сумі витрат продукції на внутрішні потреби галузей економіки і випуск продукції для зовнішніх потреб (експорт):

ВАЛ=ВИТРАТИ (ВНУТРІШНІ ПОТРЕБИ)+ВИПУСК (ЕКСПОРТ).

Задача оптимізаційної ж задачі МГБ полягає у тому, щоб знайти вектор валової продукції X *, при якому досягається максимальний прибуток від накопиченої продукції Y^* при відомій виробничій потужності галузей

Математична модель МГБ

Нехай в нас є n галузей, що виробляють продукцію, тоді A={a_i,j} – матриця, що показує частку продукції, яка виробляється i-ю галуззю, що споживається j-ю галуззю i,j∈[1;n], X=(x₁,x₂,…,x_n)^T – вектор валової продукції, що показує загальну кількість виробленої продукції j-ї галузі, Y=(y₁,y₂,…,y_n)^T – вектор, що визначає замовлення на випуск готової продукції i-ю галуззю, що йде на експорт.

Класична балансова задача ставить за мету визначити валовий випуск продукції всіх галузей (вектор Х), необхідний для:

1) задоволення внутрішніх потреб, що визначаються діючою технологією і, відповідно, матрицею А;

2) забезпечення замовлення на готову продукцію (вектор Y).

Витрати на внутрішні потреби обчислюються як добуток матриці А на шуканий вектор Х:

випуск готової продукції визначається заданим вектором Y, тоді балансова модель визначається системою лінійних рівнянь:

в матричному вигляді

, (1.1)

або у розгорнутому вигляді

(1.2)

Таким чином, отримуємо, що X=(E-A)^-1Y, де E – одинична матриця (n на n), усі елементи якої, крім головної діагоналі, нулі, а на головній діагоналі одиниці.