Глава 6. Логические основы эвм

6.1. Алгебра высказываний.
Понятие, высказывание, умозаключение

Принципы работы ЭВМ основываются на законах математической логики, поэтому ее элементы широко используются для поиска и обработки информации и при разработке схем электронных устройств.

Математическая логика – это наука о формах и способах мышления и их математическом представлении.

Существуют три формы мышления:

1) понятие;

2) высказывание;

3) умозаключение.

Понятие объединяет совокупность объектов, обладающими некоторыми существенными признаками, которые отличают их от других объектов. Например, понятие «звезда» объединяет множество светящихся газовых шаров. Это понятие трудно спутать с таким понятием как, например, «автомобиль». Объекты, соответствующие одному понятию, образуют множество.

Понятие имеет две характеристики:

1) содержание;

2) объем.

Содержание понятия – это совокупность существенных признаков, выделяющих объекты, соответствующие данному понятию, среди других объектов. Например, содержание понятия «человек» можно раскрыть так: «Общественное существо, обладающее сознанием и разумом».

Объем понятия «человек» определяется численностью людей, живущих в мире.

Высказывание (суждение, утверждение) – это повествовательное предложение, в котором утверждаются или отрицаются свойства реальных предметов и отношения между ними. Поэтому высказывание может быть истинным или ложным.

Истинным называется высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей, например: «Москва – столица России». Истинность высказывания кодируется единицей (1) и имеет значение «истина».

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: «Париж – столица США». Ложность высказывания кодируется нулем (0) и имеет значение «ложь».

Обычно высказывания обозначаются логическими переменными – заглавными латинскими буквами с индесом или без, например, A = «Сегодня идет дождь». Логические переменные принимают только два значения 0 и 1.

Умозаключение позволяет из известных фактов (истинных высказываний) получать новые факты. Например, из факта «Все углы треугольника равны» следует истинность высказывания «Этот треугольник равносторонний».

Высказывания и логические операции над ними образуют алгебру высказываний (булеву алгебру), предложенную английским математиком Джорджем Булем.

Логические операции

Основные логические операции над высказываниями, используемыми в ЭВМ, включают отрицание, конъюнкцию, дизъюнкции, стрелку Пирса и штрих Шеффера. Рассмотрим эти логические операции.

1. Отрицание (обозначается также ØX, ~X).

Отрицание (NOT, читается «не X») – это высказывание, которое истинно, если X ложно, и ложно, если X истинно.

2. Конъюнкция XY (X&Y, XÙY).

Конъюнкция XY (AND, логическое умножение, «X и Y») – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X истинно и Y истинно.

3. Дизъюнкция X+Y (XÚY).

Дизъюнкция X+Y (OR, логическая сумма, «X или Y или оба») – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X ложно и Y ложно.

4. Стрелка Пирса X ¯ Y.

Стрелка Пирса X ¯ Y (NOR (NOT OR), ИЛИ-НЕ) – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X ложно и Y ложно.

5. Штрих Шеффера X | Y.

Штрих Шеффера X | Y (NAND (NOT AND), И-НЕ) – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X истинно и Y истинно.

Определить значения логических операций при различных сочетаниях аргументов можно из таблицы истинности (табл. 6.1)

Таблица 6.1. Таблица истинности для основных логических операций, используемых в ЭВМ

X	Y		XY	X + Y	X ¯ Y	X | Y

Чтобы определить значение операции 0 + 1 в таблице истинности, необходимо на пересечении столбца X + Y (определяет операцию) и строки, где X = 0 и Y = 1 (так первый аргумент равен 0, а второй – 1), найти значение 1, которое и будет являться значением операции 0 + 1.

В алгебре высказываний существуют две нормальные формы: конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

КНФ – это конъюнкция конечного числа дизъюнкций нескольких переменных или их отрицаний (произведение сумм). Например, формула X(Y + Z) находится в КНФ.

ДНФ – это дизъюнкция конечного числа конъюнкций нескольких переменных или их отрицаний (сумма произведений). Например, формула X + YZ находится в ДНФ.

Логические операции обладают свойствами, сформулированными в виде равносильных формул.

Снятие двойного отрицания (отрицание отрицания): =X. (6.1) Коммутативность: XY=YX. (6.2) X+Y=Y+X. (6.3) Ассоциативность: (XY)Z=X(YZ). (6.4) (X+Y)+Z=X+(Y+Z). (6.5) Дистрибутивность: X(Y+Z)=XY+XZ. (6.6) X+YZ=(X+Y)(X+Z). (6.7) Законы де Моргана: . (6.8) . (6.9) Идемпотентность: X+X=X. (6.10) X×X=X. (6.11) Закон противоречия: X× =0. (6.12)

Закон «исключения третьего»: X+ =1. (6.13) Свойства констант: X×1=X. (6.14) X×0=0. (6.15) X+1=1. (6.16) X+0=X. (6.17) Элементарные поглощения: X+XY=X. (6.18) X+ Y=X+Y. (6.19) X(X+Y)=X. (6.20) X( +Y)=XY. (6.21) Преобразование стрелки Пирса: X¯Y= . (6.22) Преобразование штриха Шеффера: X | Y= . (6.23)

Правило 6.1. (порядок применения формул при преобразованиях) Перечисленные формулы рекомендуется применять в следующем порядке:

1) преобразование стрелки Пирса (6.22) и штриха Шеффера (6.23);

2) законы де Моргана (6.8)-(6.9);

3) формулы дистрибутивности (6.6)-(6.7);

4) элементарные поглощения (6.18)-(6.21).

Обычно формула приводится к ДНФ, а затем отдельные слагаемые поглощаются.

Логические функции