Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №3.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта,

-номер задания,

-предпоследняя цифра шифра студента,

-последняя цифра шифра.

Пример.

Пусть шифр студента 1235, тогда:

номер варианта первого задания: = ;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: .

Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.

Если итоговая число по формуле получится больше 20, то для опред еле ния варианта от полученного числа отнимают 20.

Пример.

Пусть шифр студента 1298.

Номер варианта второго задания: . Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу варианта №6.

Основная цель инженера – исследователя, изучающего какой- либо физический или технический процесс, заключается в выявлении его закономерностей, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Большинство подобных задач сводится к решению уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Знакоположительные ряды

Для числовых рядов с положительными членами , при исследовании сходимости используются следующие достаточные признаки.

Интегральный признак Коши

Ряд с положительными убывающими членами сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл , где - непрерывная убывающая функция.

Нижним пределом несобственного интеграла может быть любое число из области определения . Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена имеет смысл не только для целых положительных значений n но и для всех n, больших некоторого положительного числа т.

Пример 7.

Исследовать сходимость гармонического ряда:

Решение:

Заменяем в выражении общего члена номер n непрерывной переменно и убеждаемся, что является непрерывной убывающей функции при Вычислим несобственный интеграл

.Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд.

Признак Даламбера

Если ,то при q <1ряд сходится, а при q >1расходится. При q =1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 8.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

.

Применим признак Даламбера:

.Так как то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами

… (а)

… (б)

если начиная с некоторого номера n:

1) и ряд (б) сходится, то и ряд (а) также сходится;

2) и ряд (б) расходится, то и ряд(а) также расходится.

При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается либо с бесконечной геометрической прогрессией , которая при сходится, а при расходится, либо с гармоническим рядом.

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения

Решение:

Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда: , и, так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, исходный ряд также расходится.

Знакопеременные ряды

Если знаки членов ряда (1) строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся (знакопеременным).

Знакопеременный ряд (2) называется абсолютно сходящимся если ряд,

(3), составленный из абсолютных значений его членов сходится.

Знакопеременный сходящийся ряд (2) называется условно сходящимся, если ряд (3) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.ъ

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд , сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если и .

Пример 10. Доказать сходимость ряда

Решение:

, . Условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд сходится.

Функциональные ряды

Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.

При различных значениях получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида

(4)

или (5)

Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал числовой оси, симметричный относительно точки (для ряда (4)) или (для ряда (5)), который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Для определения области сходимости обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуется с помощью других признаков сходимости

Пример 11. Найти область сходимости ряда .

Решение:

далее по признаку Даламбера ищем

И определяем, при каких х этот ряд будет сходиться: .

При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (см. пример 10).

При получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Таким образом, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал .

Ряды Тейлора

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки а называется степенной ряд относительно (х-а):

При а =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной х:

который принято называть рядом Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Применение рядов к приближенным вычислениям

Для вычисления приближенных значений функций с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося ряда легко оценить погрешность приближенного значения суммы - она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Пример 12. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд и затем почленно проинтегрируем полученный сходящийся ряд в указанных пределах.

Заменив в разложении функции , получим искомое разложение:

Следовательно,

=

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, то достаточно взять сумму первых пяти членов.

Итак,

Варианты индивидуальных заданий

Задание 1.

Найти общий интеграл уравнения

.

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 2.

Найти частное решение (частный интеграл) уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 4.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задание 5.

Написать три первые члены ряда. Найти интервал сходимости и исследовать ряд на сходимость на концах интервала.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

Задание 6.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

Двойные интегралы

5.1 Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция .Разобьём область на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через .

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точки на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется функции в области .

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

Таким образом,двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называетсяинтегрируемой в области ; - область интегрирования; и - переменные интегрирования; или - элемент площади.

Случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате испытания случайно принимает одно из множества возможных значений.

Случайную величину, возможные значения которой можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называют дискретной случайной величиной.

Случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка называют непрерывной случайной величиной.

Варианты заданий

Задание 7. Данную функцию z= f (x, y) исследовать на экстремум.

1. z= .

2. z= .

3. z= .

4. z= .

5. z= .

6. z= .

7. z= .

8. z= .

9. z= .

10. z= .

11. z= .

12. z= .

13. z= .

14. z= .

15. z= .

16. z= .

17. z= .

18. z=

19. z= .

20. z= .

Задание 8. Задана функция z= f (x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке М(х₀, у₀₎ в направлении вектора l, составляющего угол a с положительным направлением оси Ох.

1. z= , M(1,-1), a= .

2. z= , M(, ), a= .

3. z= , M(2,-2), a= .

4. z= , M(, ), a= .

5. z= , M(, ), a= .

6. z= , M(3,4), a= .

7. z= , M(1,-2), a= .

8. z= , M(, ), a= .

9. z= , M(1,-1), a= .

10. z= , M(2,-2), a= .

Вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

11. z= .

12. z=

13. z= .

14. z= .

15. z= .

16. z= .

17. z= .

18. z= .

19. z= .

20. z= .

Задание 9. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 10. Требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 11. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b); 2) вероятность того, абсолютная величина отклонения |x-m| окажется меньше d.

1. m=15, s=2, a=16, b=25, d=4.

2. m=14, s=4, a=18, b=34, d=8.

3. m=13, s=4, a=15, b=17, d=6.

4. m=12, s=5, a=17, b=22, d=15.

5. m=11, s=3, a=17, b=26, d=12.

6. m=10, s=2, a=11, b=13, d=5.

7. m=9, s=4, a=15, b=19, d=18.

8. m=8, s=2, a=6, b=15, d=8.

9. m=7, s=5, a=2, b=22, d=20.

10. m=6, s=3, a=0, b=9, d=9.

11. m=15, s=2, a=9, b=19, d=3.

12. m=14, s=4, a=10, b=20, d=4.

13. m=13, s=4, a=11, b=21, d=8.

14. m=12, s=5, a=12, b=22, d=10.

15. m=11, s=4, a=13, b=23, d=6.

16. m=10, s=8, a=14, b=18, d=2.

17. m=9, s=3, a=9, b=18, d=6.

18. m=8, s=4, a=8, b=12, d=8.

19. m=7, s=2, a=6, b=10, d=4.

20. m=6, s=2, a=4, b=12, d=4.

Задание 12

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

3. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0.7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0.38. Найдите р.

5. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.

6. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.

7. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75; для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

8. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

9. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго – 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

10. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

11. Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слова «ракета»?

12. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.

13. Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что цифра 6 появиться хотя бы на одной грани.

14. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0.3, а из второго - 0.4.

15. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.

16. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0.6.

17. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при трех испытаниях равна 0.936. Найти вероятность наступления события А при одном испытании.

18. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течении гарантийного срока, равна 0.2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

19. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.

20. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов.

Задание 13. Две независимые дискретные случайные величины Х и У заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайно величины

Z=3X-2Y.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности