Контрольные работы по математике

Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ

 

Контрольные работы по математике

для студентов-заочников 1 курса и методические указания к их выполнению

 

Волгодонск

 

УДК 51 (076.5)

ББК 22.1

К 65

 

 

Рецензент: д.т.н., проф. А.В. Чернов

 

 

Составители: Сысоев Ю.С., Замыслова А.И., Алексеева М.А., Лисичкина О.М., Столяр Л.Н., Чабанова Н.И.

 

Контрольные работы по математике для студентов-заочников 1 курса и методические указания к их выполнению. / сост. Ю.С. Сысоев [и др.]; ВИТИ НИЯУ МИФИ. – Волгодонск, 2016. – 66 с.

Данное пособие предназначено для студентов-заочников, выполняющих контрольные работы по курсу «Математика». Сборник охватывает все темы, предусмотренные соответствующими ФГОС.

 

 

© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2016

© Коллектив авторов, 2016

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Сборник содержит две контрольных работы для студентов-заочников 1 курса всех направлений, по которым ведется обучение в Волгодонском инженерно-техническом институте — филиале НИЯУ МИФИ. Эти контрольные работы охватывают все разделы, представленные в федеральных государственных образовательных стандартах, и составлены в соответствии с унифицированными планами и соответствующими рабочими программами подготовки бакалавров всех направлений филиала.

Предусмотрен следующий порядок выполнения контрольных работ:

 

Семестр	I	II
Номера контрольных работ

 

Выбор варианта производится по последней цифре номера зачетной книжки.

 

Контрольная работа № 1.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Предел и производная функции одной переменной.

Задание 1. Дана система линейных уравнений

 

Решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) методом матричного исчисления.

 

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задание 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) площадь грани ;

4) объем пирамиды ;

5) уравнение прямой ;

6) уравнение плоскости ;

 

Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.	а) ; б) ; в) ; г) .
2.	а) ; б) ; в) ; г) .
3.	а) ;б) ;
	в) ; г) .
4.	а) ;б) ; в) ; г) .
5.	а) ;б) ; в) ; г) .
6.	а) ;б) ; в) ; г) .
7.	а) ;б) ; в) ; г) .
8.	а) ;б) ; в) ; г) .
9.	а) ;б) ; в) ; г) .
10.	а) ;б) ; в) ; г) .   Задание 4.Найти производные данных функций.   1. а) , б) , в) . 2. а) , б) , в) . 3. а) , б) , в) . 4. а) , б) , в) . 5. а) , б) , в) . 6. а) , б) , в) . 7. а) , б) , в) . 8. а) , б) , в) . 9. а) , б) , в) . 10. а) , б) , в) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2.-M.: Наука, 1985.- 560с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1976.- 200с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с.

4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c.

Контрольная работа № 2.

Приложение производной. Интегралы.

Задание 1. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

 

1. a) , б) .

2. a) , б) .

3. a) , б) .

4. a) , б) .

5. a) , б) .

6. a) , б) .

7. a) , б) .

8. a) , б) .

9. a) , б) .

10. a) , б) .

 

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Задание 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

 

Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы.

1.	а) ; б) ; в) ; г) .
2.	а) ; б) ; в) ; г) .
3.	а) ; б) ;
в) ; г) .
4.	а) ; б) ; в) ; г) .
5.	а) ; б) ; в) ; г) .
6.	а) ; б) ; в) ; г) .
7.	а) ; б) ; в) ; г) .
8.	а) ; б) ; в) ; г) .
9.	а) ; б) ; в) ; г) .
10.	а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.

1.   2.   3.   4.   5.     6.   7.   8.   9.   10.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1.-M.: Наука, 1985.- 456с.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c.

Матрицы и их приложения

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел

,

имеющая строк (одинаковой длины) и (одинаковой длины) столбцов.

Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной.

 

Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой .

Например,

.

Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например,

.

 

 

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы: a) , б) .

Решение. а) ; ;

;

б) ; ;

;

Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу C размером , каждый элемент которой

, где ; .

То есть элемент – ой строки и – го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – го столбца матрицы .

Если определено произведение ,то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно .

Задача. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицу .

Решение.

.

.

Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то .

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие .

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ; .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом:

1) находят все алгебраические дополнения;

2) составляют матрицу алгебраических дополнений ;

3) транспонируют матрицу B и умножают на число .

Полученная матрица и будет обратной матрицей.

 

 

Задача. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Положим, что

; ; .

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид

. (10)

Найдем определитель матрицы :

.

Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица .

Но тогда .

Ответ:

 

Элементы векторной алгебры

Умножение векторов

Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов).

Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .

Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Пусть заданы два вектора и .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

.

Угол между векторами вычисляется по формуле

,

или в координатной форме .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:

.

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .

Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

 

Задача. Определить внутренние углы c вершинами .

Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы и . Зная векторы и , из формулы (2) получим

 

Легко видеть, что . Тогда

.

Отсюда .

Аналогично, находя предварительно, что , получим

.

Отсюда и .

 

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. По определению векторного произведения . Но

.

Тогда .

Следовательно, .

 

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами .

Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что .

Тогда . Но

..

Следовательно, .

 

 

Уравнения плоскости

 

Общее уравнение плоскости имеет вид

(8)

Вектор - перпендикулярен к плоскости, задаваемой уравнением (8). Вектор называется вектором нормали к плоскости или ее нормальным вектором.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (9)

Условие параллельности плоскостей

и

является одновременно и условием коллинеарности векторов и и записывается в виде: .

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки , имеет вид

.

 

Пределы и непрерывность

Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.

Если существуют конечные пределы и , то

1) ;

2) ;

3) (если ).

Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:

1) ;

2) ;

3) ; 4) ; 5) .

 

Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ;

 

б) ;

 

в) ;

г) ;

 

д) ;

е) . ж) .

 

Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: .

б) Умножим числитель и знаменатель д