Работа силы упругости пружины.

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

Работа и мощность сил

Работа силы — скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы:

(3.37)

В (3.37) — приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

(3.38)

Так как — проекция силы на направление перемещения точки (при криволинейной траектории — на касательную ось к траектории), то

(3.39)

т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нормальной силы равна нулю. Из (3.38) следует:

если ,то ; если ,то ; если ,то .

2. Аналитическое выражение элементарной работы. Представим векторы и через их проекции на оси декартовых координат: , и подставим в (3.37). Получим

|. (3.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

(3.41)

или

|. (3.42)

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то

(3.43)

Например, дано: , , . .

4. Работа силы тяжести (рис. 17). Используем формулу (3.42): , ; , где — перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх (точка — внизу, — вверху). Итак,

(3.44)

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории ( совпадает с )работа равна нулю.

Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси (рис. 18). Используем (3.42): ; , где — величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда работа силы упругости дается формулой

(3.45)

Примечание. При перемещении точки приложения силы упругости по криволинейной траектории из положения в положение (рис. 19) работа определяется по формуле (3.46):

, (3.46)

где , — деформации пружины в этих положениях.

6. Работа сил, приложенных к твердому телу.

а) Работа внутренних сил

Для двух точек: . (рис. 20).

Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:

. (3.47)

Следовательно, на любом конечном перемещении тела

(3.48)

б) Работа внешних сил.

Поступательное движение тела.

Элементарная работа силы . Для всех сил . Так как при поступательном движении , то , (3.49)

где — проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения. Работа сил на конечном перемещении , (4.50)

Вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 21).

Элементарная работа силы , где — составляющие силы по естественным осям . Так как , то работа этих сил на перемещение точки приложения силы равна нулю. Тогда , но .

Элементарная работа внешней силы равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

, (3.51)

где — главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

(3.52)

Если , то (3.53)

где — конечный угол поворота; , где — число оборотов тела вокруг оси.

7. Мощность — это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

(3.54)

где — работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время .

В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы к элементарному промежутку времени , за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому

(3.55)

8. Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение выполненной полезной работы ко всей затраченной работе , т. е.

(3.56)

9. Единицы измерения работы и мощности. В системе СИ единица измерения работы силы — джоуль (1 Дж= 1 Н м),а в системе МкГС — кГм. Единица измерения мощности — соответственно — ватт (1 Вт = 1 Дж/с) и кГм/с. 75 кГм/с = 1 л. с. (лошадиная сила). 1 кВт= 1000 Вт = 1,36 л. с.

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

(3.59)

где — скорость точки системы относительно центра масс.

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

Работа и мощность сил

Работа силы — скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы:

(3.37)

В (3.37) — приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

(3.38)

Так как — проекция силы на направление перемещения точки (при криволинейной траектории — на касательную ось к траектории), то

(3.39)

т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нормальной силы равна нулю. Из (3.38) следует:

если ,то ; если ,то ; если ,то .

2. Аналитическое выражение элементарной работы. Представим векторы и через их проекции на оси декартовых координат: , и подставим в (3.37). Получим

|. (3.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

(3.41)

или

|. (3.42)

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то

(3.43)

Например, дано: , , . .

4. Работа силы тяжести (рис. 17). Используем формулу (3.42): , ; , где — перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх (точка — внизу, — вверху). Итак,

(3.44)

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории ( совпадает с )работа равна нулю.

Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси (рис. 18). Используем (3.42): ; , где — величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда работа силы упругости дается формулой

(3.45)

Примечание. При перемещении точки приложения силы упругости по криволинейной траектории из положения в положение (рис. 19) работа определяется по формуле (3.46):

, (3.46)

где , — деформации пружины в этих положениях.

6. Работа сил, приложенных к твердому телу.

а) Работа внутренних сил

Для двух точек: . (рис. 20).

Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:

. (3.47)

Следовательно, на любом конечном перемещении тела

(3.48)

б) Работа внешних сил.

Поступательное движение тела.

Элементарная работа силы . Для всех сил . Так как при поступательном движении , то , (3.49)

где — проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения. Работа сил на конечном перемещении , (4.50)

Вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 21).

Элементарная работа силы , где — составляющие силы по естественным осям . Так как , то работа этих сил на перемещение точки приложения силы равна нулю. Тогда , но .

Элементарная работа внешней силы равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

, (3.51)

где — главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

(3.52)

Если , то (3.53)

где — конечный угол поворота; , где — число оборотов тела вокруг оси.

7. Мощность — это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

(3.54)

где — работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время .

В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы к элементарному промежутку времени , за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому

(3.55)

8. Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение выполненной полезной работы ко всей затраченной работе , т. е.

(3.56)

9. Единицы измерения работы и мощности. В системе СИ единица измерения работы силы — джоуль (1 Дж= 1 Н м),а в системе МкГС — кГм. Единица измерения мощности — соответственно — ватт (1 Вт = 1 Дж/с) и кГм/с. 75 кГм/с = 1 л. с. (лошадиная сила). 1 кВт= 1000 Вт = 1,36 л. с.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности