Теоретические основы эксперемента

 

Условие резонанса

 

Резонансом токов в цепи с параллельно соединенными катушкой индуктивности и емкостью (рис. 6.1, а) называется режим, при котором токи в ветвях превышают ток, потребляемый из сети, и возникает при совпадении частоты питающего напряжения с частотой собственных колебаний контура .

Электрическую цепь, в которой возникает резонанс токов - параллельный контур - широко используют в практике. Так, резонансные цепи радиоприёмных и передающих устройств выполнены по схеме параллельного контура.

Рис. 6.1. Параллельный контур: а - схема сопротивлений; б - схема проводимостей

 

При резонансе токов происходит обмен энергией между катушкой индуктивности и конденсатором, а электрическая сеть только восполняет потери. (В случае идеального контура, при отсутствии потерь, ток, потребляемый из сети равен 0). Для существования такого обмена необходимо, чтобы реактивная мощность катушки индуктивности была равна мощности конденсатора - энергетическое условие резонанса

,

где - мгновенное значение мощности индуктивности; - мгновенное значение мощности емкости при резонансе. Электрическое условие резонанса, показывающее соотношения между токами катушки и конденсатора при достижении резонанса, проще получить, рассматривая эквивалентную схему проводимостей (рис. 6.1, б). Для схемы (рис. 6.1, б) имеем:

и .

Откуда получаем, что для достижения резонанса необходимо, чтобы реактивные составляющие токов катушки и конденсатора были равны:

или (6.2)

Записав выражения для реактивных составляющих токов через соответствующие проводимости

и

получаем, что для достижения резонанса токов необходимо, чтобы реактивные проводимости катушки индуктивности и конденсатора были равны:

(6.3)

- параметрическое условие резонанса.

Параметрическое условие резонанса позволяет получить выражение для резонансной частоты параллельного контура. Действительно,

и .

После подстановки в (6.3) с учетом того, что и получим уравнение

. (6.4)

При выполнении одного из условий резонанса остальные выполняются автоматически. Добротность контура показывает во сколько раз вынужденная реактивная составляющая тока больше тока, потребляемого из сети

. (6.5)

 

Основные соотношения

 

Рассмотрим общую схему параллельного соединения катушки индуктивности и емкости (рис. 6.1, а). На основании первого закона Кирхгофа запишем:

. (6.6)

Токи в ветвях могут быть найдены:

; ; ;

; ; .

Учитывая, что составляющие токов в неразветвлённой части цепи для схемы (рис. 6.1, б) проводимостей записываются:

; ;

; ;

; ,

получим

. (6.7)

Если в опыте, к примеру, резонанс достигается изменением емкости (при некотором значении величина равна ), то величина тока в неразветвленной части цепи достигает минимума. Это свойство обычно используется при измерении момента наступления резонанса.

Поскольку при резонансе , то ток в неразветвлённой части цепи активный, т. е.

.

Значение фазового сдвига для любых параметров цепи можно записать

(6.8)

и при резонансе , т. е. .

Активная мощность

(6.9)

во время эксперимента будет неизменной, если . Добротность параллельного контура

в общем случае имеет довольно сложную зависимость (6.7). В случае , выражения для становится проще:

.

 

Основные характеристики

 

В данной работе экспериментально исследуются зависимости , , , от . При , , поэтому ток в неразветвленной части равен току через катушку индуктивности (индуктивно-активная нагрузка). По мере увеличения увеличивается, а реактивная составляющая тока (6.7) уменьшается, уменьшается и весь ток , достигая минимума при резонансе. Дальнейшее увеличение емкости ведет к увеличению тока, нагрузка - емкостно-активная. Коэффициент мощности (6.8) имеет максимум при резонансе и уменьшается, если и . Ток через конденсатор (при )

линейно зависит от емкости конденсатора.

 

Векторная диаграмма

 

Векторная диаграмма строится на основании уравнения

. (6.6)

Если известны все токи , , , то можно построить треугольник токов. Однако неизвестность фазовых сдвигов между токами и
напряжениями не позволяет построить вектор напряжения. Поэтому на
практике чаще всего векторы токов и раскладываются на активную и
реактивную составляющие. В этом случае векторная диаграмма строится
на основании уравнения

. (6.10)

Построение диаграммы начинают с вектора напряжения (рис. 6.2), (цифры указывают порядок построения). Из точки 0 строится активная составляющая тока (2), из точки B - реактивная составляющая - (3). Вектор (4) равен сумме активной и реактивной составляющих. Фазовый сдвиг между током и напряжением равен . Вектор строится аналогично вектору тока первой ветви (5, 6, 7). Вектор тока неразветвленной части цепи находится как сумма векторов и (точки 0 и D). Вектор тока (8) можно разложить на активную составляющую (9) и реактивную (10). Из векторной диаграммы видно, что

,

.

 

Рис. 6.2. Векторная диаграмма для параллельного контура