Кинематика равномерного вращательного движения

Z

Рис. 1.11

Рассмотрим движение м. т. по окруж- ности радиусом R с постоянной линейной скоростью u вокруг неподвижной оси Z (рис. 1.11).

r

Положение точки зададим радиус-век- тором �, исходящим из точки О оси Z. За

малый интервал времени dt точка совер- шает поворот на угол d j. Движен�ие м. т.

будем характеризовать вектором d j и оп-

ределим его направление правилом пра- вого винта (если вращать правый винт по направлению движения точки, то по- ступательное движение винта совпадает

 

с вектором d �). Модуль вектора d � равен углу поворота точки за

j j �

интервал времени dt. Линейное перемещение вектора r за время

dt равно

dr = Rd j = r sin b d j,

где b — угол между вектором � и вектором d �, R = r sin b.

r j

Вектор перемещения

� � �

j

r

dr =[ d ×]. (1.28)

Последнее равенство справедливо для бесконечно малого угла d j.

Вектор линейной скорости движения точки

� d � ⎡ d � �⎤ � �

u= =⎢ j × r ⎥=[w r ], (1.29)

� dt ⎣ dt ⎦

w

где � = d j — вектор угловой скорости.

dt �

d j) (� ­­ d �).

� Вектор угловой скорости w совпадает с направлением вектора

w j

Согласно правилу векторного умножения векторов модуль векто- ра линейной скорости

u = w × r ×sin b = w × R. (1.30) Вектор линейного ускорения

� d �

d � � ⎡ d � �⎤ ⎡ � d �⎤ � � � � � �

a = u =

[w× r ] =⎢ w × r ⎥+⎢w× r ⎥=[e× r ] +[w×u] = a + a, (1.31)

t n

dt � dt

⎣ dt ⎦⎣ dt ⎦

где � = d w — вектор углового ускорения, �

= [�× �] — вектор каса-

e

dt � � �

a t e r

тельного ускорения, an =[w×u] — вектор норм�ального ускорения. Направление вектора углового ускорения e совпадает с направ-

w

e w

лением вектора � (� ­­ �), если угловая скорость возрастает, и про-

тивоположно (� ­¯ �), если она уменьшается.

e w � �

Модули векторов a t = e × r ×sin b = e × R, a = w R.

2

Модуль полного ускорения

a = = R

. (1.32)

Угловой путь м. т., движущейся по окружности за время dt

d j = w dt.

Интегрируя последнее равенство в пределах изменения угла и вре- мени, найдем угловой путь (j - j0) точки за интервал времени t при начальном угле j0

j t

ò d j = òw dt,

j0 0

t

j - j0 = òw dt.

При постоянной угловой скорости w угловой путь и угол пово-

рота определятся из равенств

j - j0 = w t,

j = j0 + w t. (1.33)

При равноускоренном вращении точки по окружности для t = 0,

w(t = 0) = w0 e = const, угловая скорость определяется из соотноше- ния

w = w0 + e t,

которое получается интегрированием равенства d w = e dt в пределах изменения угловой скорости и времени

w t

ò d w = òe dt,

w0 0

w - w0 = e t.

Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений

d j = w dt,

d j=(w0+e t) dt,

j t

ò d j = ò(w 0 + e t) dt,

j0

 

j - j

0

0 = w0 t

e t 2

+

,

 

j = j

0 + w0 t

+e t 2

2

 

. (1.34)

Для равнозамедленного вращения

w = w0 - e t,

 

j - j

0 = w0 t

-e t 2

2

 

, (1.35)

j = j

0 + w0 t

e t 2

-

.

Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, уг- ловое ускорение — рад/с2.

 

Примеры решения задач

Задача 1.4.

Материальная точка движется без начальной скорости u0 = 0 вдоль прямой с ускорением a = k × t, где k = const. Определить в момент вре- мени t 1 = 10 c скорость точки u1 и пройденный ею путь s 1, если из- вестно, что за это время ускорение достигает значения a 1 = 5 м/с2.

Дано: u0 = 0; t 1=10 c; а 1=5 м/с2. Найти: u1, s 1.

Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из определения ускорения a = d u найдем скорость в момент време-

ни t

dt

t 1 t 1

 

kt 2 a t

11 1

u1= ò a (t) dt = ò ktdt = =, (1)

где k = a 1.

t 1

0 0 2 2

Пройденный точкой путь

t 1 t 1 kt 2

 

kt 3 a t 2

s = òu dt = ò dt = 1 = 11. (2)

0 0 2 6 6

at a t 2

Ответ: u = 1 1 = 25 м/с, s = 1 1 = 83, 3 м.

1 2 6

 

Задача 1.5.

Материальная точка начинает движение по окружности радиусом R = 29 см с постоянным касательным ускорением a t= 0, 5 м/с2. Опре- делить пройденный путь s, угловую скорость w, угловое ускорение e

и время t, при котором вектор ускорения � образует с вектором ско-

� a

рости u угол a = 30°.

Дано: R = 29 см = 0,29 м; a t= 0, 5 м/с2;

a = 30°; u0 = 0.

Найти: t, s, w, e.

Из определения касательного ускорения

a = d u

t dt

найдем скорость точки

t

u = ò a t dt = a t t.

Нормальное ускорение в момент времени t

u2 a 2 t 2

t

an = =.

R R � � �

Укажем на рисунке направление векторов найдем

a t,

an,

a, угол a, и

a a 2 t 2 a t 2

tga = n = t = t,

a t R × a t R t =.

Путь, пройденный точкой (см. 1.6)

t a t 2 R tga

s = òu dt = ò a t tdt = t =.

Угловая скорость

0 2 2

w = u = a t t =.

R R

Угловое ускорение

e= d w = d u = a t.

dt dt R R

Ответ: t = = 0, 58 c, w = = 1рад/с, e = a t = 1, 73 рад/с2,

R

s = a t R tga= 0, 43 м.

 

Задача 1.6.

Тело брошено горизонтально со скоро- Y

стью u0= 15 м/с�с высоты h = 10 м. Опреде-

лить скорость u, касательное a t, нормаль- υ0

h

ное an и полное ускорения a, радиус кривиз- ны R траектории в момент падения тела.

Дано: u0 = 15 м/с; h = 10 м; g = 9,8 м/с2

Найти: u, a t, an, a, R. i

Движение тела происходитв плоско- 0 j

сти ХОY.

По оси ОХ тело движется равномерно с постоянной скоростью u x = u0. По оси ОY тело движется с ускорением свободного па-

υ x

an φ X g a τ

υ y υ

дения g. В точке падения вектор и модуль скорости

� � � � �

u = u xi + u y j = u0 i - gtj,

 

u =.

где t — время падения тела, u y = – gt.

Время падения определим из уравнения движения тела вдоль оси ОУ

gt 2

 

 

Когда у = 0, h =

 

 

gt 2

2

 

 

, t =

y = h -.

2

 

.

Модуль вектора скорости

u =.

В любой точке траектории полное ускорение падающего тела

=

� �

a g.

Модули составляющих полного ускорения

a t= g sin j, an = g cos j,

и

,

u0

где j — угол между направлениями векторов u �

 

cos j = u0; sin j = = gt.

u

gt g 2 t

u u

u g u

Тогда a t = g

u = u = g

, an

= g 0 = 0.

u

Радиус кривизны траектории в точке падения тела найдем из оп- ределения нормального ускорения

u2 (u2 +2 gh)3/ 2

R = = 0.

an g × u0

 

Ответ: u =

= 20, 6 м/с, a t= g

= 6,8 м/с2,

 

an =

g u0

(u2 + 2 gh)3/ 2

= = =

7, 3 м/с2, R 0 58,1 м.

g × u

 

Задача 1.7.

Y

 

Тело брошено вертикально вверх со ско- ростью u0. Определить максимальную высо-

y = h

h

υ y = 0

 

g

ту подъема тела h и скорость u при его па- дении.

Дано: u0.

Найти: h, u.

υ0

y = 0

 

 

υ

Тело движется прямолинейно с ускоре- нием свободного падения g. Для равнопере- менного прямолинейного движения и вы- бранного направления оси OУ и начала ко-

ординат зависимость координаты и проекции скорости от времени запишем в виде

⎧

⎪ y (t) = u0 t -

⎨

gt 2

2 (1)

⎪⎩u y (t) = u0- gt

В точке максимального подъема тела y = h, а u y (th) = 0, где th —

время подъема тела. Тогда, u (t) = u – gt = 0 и t = u0.

y h 0 h h g

Из уравнения (1) при t = th максимальная высота подъема тела

gt 2

u g u2 u2

h = u t - h = u

0 - × 0 = 0.

0 h 2

0 g 2 g 2 2 g

Время полета t пол определяется из равенства y (t пол)=0,

пол

u t - gt 2 = 0,

0 пол 2

Проекции скорости на ось ОУ

t = 2u 0.

пол g

u C =u0 - gt пол,

u C = u0

- g 2u0 = -u,

g 0

u

где знак минус указывает направление скорости �, противополож-

ное оси ОУ.

u2

Ответ: h = 0, u = u.

2 g 0

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. От каких кинематических характеристик зависит форма траек- тории движения м. т.?

2. Запишите зависимость координат от времени м. т., движущей- ся по прямой линии, параболе.

3. Для тела, брошенного со скоростью u0 под углом a к горизон-

ту, определите зависимость его модуля перемещения от времени по- лета.

4. Выведите соотношения между линейными и угловыми характе- ристиками вращательного движения материальной точки.

5. От каких кинематических характеристик зависит радиус кри- визны траектории?

6. Определите линейный и угловой путь точки, совершившей n оборотов по окружности радиуса R, с постоянной угловой скоро- стью w.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

· Система отсчета состоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов.

· Материальная точка — макроскопическое тело, размерами кото-

рого пренебрегают в соответствии с условиями задачи.

· Траектория движения материальной точки — совокупность всех ее последовательных положений в пространстве.

· Вектор перемещения Ä�= � - � — изменение радиус-вектора в за-

r r 2 r 1

данной системе отсчета.

· Путь s — длина участка траектории материальной точки за неко- торый интервал времени t.

· Мгновенная скорость � �

� Ä r

u=lim

Ä t ®0 Ä t

= dr dt

r

— векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиус-вектора �.

· Ускорение � �

�

a =lim Äu = d u

Ä t ®0Ä t dt

— векторная вели�чина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости u.

· Касательное (тангенциальное) ускорение

a = d u

t dt

— составляющая полного ускорения, определяющая изменение скорости по модулю и направлена по касательной к траектории.

· Нормальное ускорение � � �

an =[w´u]

— составляющая полного ускорения, направленная к центру кри- визны траектории.

· Равномер � ное прямолинейное движение — движение с постоянной ско- ростью u.

·

a

Равнопеременное прямолинейное движение — движение с постоян- ным ускорением �.

Обозначения, используемые в главе 1 95

 

· Криволинейное движение — движение по криволинейной траекто-

рии с изменяющимися векторами касательного � и нормально-

t

a

an

го ускорений �.

· Вращательное движение — движение м. т. по�окружности, харак- териз�ующееся векторами угловой скорости w и углового ускоре- ния e, модуль которых связан с линейной скоростью м. т. соот-

ношениями

w = u, e =

R

d u.

dt × R

·

d

Вектор угловой скорости �

=

� j

w

dt

·

определяет скорость изменения угла поворота точки.

Вектор углового ускорения

d

�

�

e = w

dt �

определяет изменение угловой скорости w.

· Угловой путь м. т.

j - j

0 = w0 t

e t 2

±

,

где j0и w0– угол и угловая скорость при t = 0. Знак плюс соот- ветствует равноускоренному вращению, а минус равнозамедлен- ному.