Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Кинематика равномерного вращательного движения
Z Рис. 1.11 Рассмотрим движение м. т. по окруж- ности радиусом R с постоянной линейной скоростью u вокруг неподвижной оси Z (рис. 1.11).
малый интервал времени dt точка совер- шает поворот на угол d j. Движен�ие м. т. будем характеризовать вектором d j и оп- ределим его направление правилом пра- вого винта (если вращать правый винт по направлению движения точки, то по- ступательное движение винта совпадает
с вектором d �). Модуль вектора d � равен углу поворота точки за j j � интервал времени dt. Линейное перемещение вектора r за время dt равно dr = Rd j = r sin b d j, где b — угол между вектором � и вектором d �, R = r sin b. r j Вектор перемещения
Последнее равенство справедливо для бесконечно малого угла d j. Вектор линейной скорости движения точки � d � ⎡ d � �⎤ � � u= =⎢ j × r ⎥=[w r ], (1.29) � dt ⎣ dt ⎦
dt �
w j Согласно правилу векторного умножения векторов модуль векто- ра линейной скорости u = w × r ×sin b = w × R. (1.30) Вектор линейного ускорения � d � d � � ⎡ d � �⎤ ⎡ � d �⎤ � � � � � � a = u = [w× r ] =⎢ w × r ⎥+⎢w× r ⎥=[e× r ] +[w×u] = a + a, (1.31)
⎣ dt ⎦⎣ dt ⎦ где � = d w — вектор углового ускорения, � = [�× �] — вектор каса- e dt � � � a t e r тельного ускорения, an =[w×u] — вектор норм�ального ускорения. Направление вектора углового ускорения e совпадает с направ-
тивоположно (� ¯ �), если она уменьшается. e w � � Модули векторов a t = e × r ×sin b = e × R, a = w R. 2 Модуль полного ускорения a = = R . (1.32) Угловой путь м. т., движущейся по окружности за время dt d j = w dt. Интегрируя последнее равенство в пределах изменения угла и вре- мени, найдем угловой путь (j - j0) точки за интервал времени t при начальном угле j0
j t ò d j = òw dt, j0 0 t j - j0 = òw dt. При постоянной угловой скорости w угловой путь и угол пово- рота определятся из равенств j - j0 = w t, j = j0 + w t. (1.33) При равноускоренном вращении точки по окружности для t = 0, w(t = 0) = w0 e = const, угловая скорость определяется из соотноше- ния w = w0 + e t, которое получается интегрированием равенства d w = e dt в пределах изменения угловой скорости и времени w t ò d w = òe dt, w0 0 w - w0 = e t. Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений d j = w dt, d j=(w0+e t) dt, j t ò d j = ò(w 0 + e t) dt, j0
j - j 0 0 = w0 t e t 2
j = j 0 + w0 t +e t 2 2
. (1.34) Для равнозамедленного вращения w = w0 - e t,
j - j 0 = w0 t -e t 2 2
, (1.35) j = j 0 + w0 t e t 2
Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, уг- ловое ускорение — рад/с2.
Примеры решения задач Задача 1.4. Материальная точка движется без начальной скорости u0 = 0 вдоль прямой с ускорением a = k × t, где k = const. Определить в момент вре- мени t 1 = 10 c скорость точки u1 и пройденный ею путь s 1, если из- вестно, что за это время ускорение достигает значения a 1 = 5 м/с2. Дано: u0 = 0; t 1=10 c; а 1=5 м/с2. Найти: u1, s 1. Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из определения ускорения a = d u найдем скорость в момент време- ни t dt t 1 t 1
kt 2 a t
где k = a 1. t 1 0 0 2 2 Пройденный точкой путь t 1 t 1 kt 2
kt 3 a t 2 s = òu dt = ò dt = 1 = 11. (2) 0 0 2 6 6 at a t 2 Ответ: u = 1 1 = 25 м/с, s = 1 1 = 83, 3 м. 1 2 6
Задача 1.5. Материальная точка начинает движение по окружности радиусом R = 29 см с постоянным касательным ускорением a t= 0, 5 м/с2. Опре- делить пройденный путь s, угловую скорость w, угловое ускорение e и время t, при котором вектор ускорения � образует с вектором ско- � a рости u угол a = 30°. Дано: R = 29 см = 0,29 м; a t= 0, 5 м/с2; a = 30°; u0 = 0. Найти: t, s, w, e. Из определения касательного ускорения a = d u t dt найдем скорость точки t u = ò a t dt = a t t. Нормальное ускорение в момент времени t u2 a 2 t 2
R R � � � Укажем на рисунке направление векторов найдем
a t, an, a, угол a, и a a 2 t 2 a t 2 tga = n = t = t, a t R × a t R t =. Путь, пройденный точкой (см. 1.6) t a t 2 R tga s = òu dt = ò a t tdt = t =. Угловая скорость 0 2 2 w = u = a t t =. R R Угловое ускорение e= d w = d u = a t. dt dt R R Ответ: t = = 0, 58 c, w = = 1рад/с, e = a t = 1, 73 рад/с2, R s = a t R tga= 0, 43 м.
Задача 1.6. Тело брошено горизонтально со скоро- Y стью u0= 15 м/с�с высоты h = 10 м. Опреде- лить скорость u, касательное a t, нормаль- υ0
Дано: u0 = 15 м/с; h = 10 м; g = 9,8 м/с2 Найти: u, a t, an, a, R. i Движение тела происходитв плоско- 0 j сти ХОY. По оси ОХ тело движется равномерно с постоянной скоростью u x = u0. По оси ОY тело движется с ускорением свободного па- υ x an φ X g a τ υ y υ дения g. В точке падения вектор и модуль скорости � � � � � u = u xi + u y j = u0 i - gtj,
u =. где t — время падения тела, u y = – gt. Время падения определим из уравнения движения тела вдоль оси ОУ gt 2
Когда у = 0, h =
gt 2 2
, t = y = h -. 2
. Модуль вектора скорости u =. В любой точке траектории полное ускорение падающего тела
a g. Модули составляющих полного ускорения a t= g sin j, an = g cos j,
cos j = u0; sin j = = gt.
u gt g 2 t u u u g u Тогда a t = g u = u = g , an = g 0 = 0. u Радиус кривизны траектории в точке падения тела найдем из оп- ределения нормального ускорения u2 (u2 +2 gh)3/ 2 R = = 0. an g × u0
Ответ: u = = 20, 6 м/с, a t= g = 6,8 м/с2,
an = g u0 (u2 + 2 gh)3/ 2
g × u
Задача 1.7. Y
Тело брошено вертикально вверх со ско- ростью u0. Определить максимальную высо- y = h h υ y = 0
g ту подъема тела h и скорость u при его па- дении. Дано: u0. Найти: h, u. υ0 y = 0
υ Тело движется прямолинейно с ускоре- нием свободного падения g. Для равнопере- менного прямолинейного движения и вы- бранного направления оси OУ и начала ко- ординат зависимость координаты и проекции скорости от времени запишем в виде ⎧ ⎪ y (t) = u0 t - ⎨ gt 2 2 (1) ⎪⎩u y (t) = u0- gt В точке максимального подъема тела y = h, а u y (th) = 0, где th — время подъема тела. Тогда, u (t) = u – gt = 0 и t = u0. y h 0 h h g Из уравнения (1) при t = th максимальная высота подъема тела gt 2 u g u2 u2 h = u t - h = u 0 - × 0 = 0. 0 h 2 0 g 2 g 2 2 g Время полета t пол определяется из равенства y (t пол)=0,
0 пол 2 Проекции скорости на ось ОУ t = 2u 0. пол g u C =u0 - gt пол, u C = u0 - g 2u0 = -u, g 0
ное оси ОУ. u2 Ответ: h = 0, u = u. 2 g 0
Вопросы и задания для самопроверки 1. От каких кинематических характеристик зависит форма траек- тории движения м. т.? 2. Запишите зависимость координат от времени м. т., движущей- ся по прямой линии, параболе. 3. Для тела, брошенного со скоростью u0 под углом a к горизон- ту, определите зависимость его модуля перемещения от времени по- лета. 4. Выведите соотношения между линейными и угловыми характе- ристиками вращательного движения материальной точки. 5. От каких кинематических характеристик зависит радиус кри- визны траектории? 6. Определите линейный и угловой путь точки, совершившей n оборотов по окружности радиуса R, с постоянной угловой скоро- стью w.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ · Система отсчета состоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов. · Материальная точка — макроскопическое тело, размерами кото- рого пренебрегают в соответствии с условиями задачи. · Траектория движения материальной точки — совокупность всех ее последовательных положений в пространстве. · Вектор перемещения Ä�= � - � — изменение радиус-вектора в за- r r 2 r 1 данной системе отсчета. · Путь s — длина участка траектории материальной точки за неко- торый интервал времени t. · Мгновенная скорость � � � Ä r u=lim Ä t ®0 Ä t = dr dt
· Ускорение � �
Ä t ®0Ä t dt — векторная вели�чина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости u. · Касательное (тангенциальное) ускорение a = d u t dt — составляющая полного ускорения, определяющая изменение скорости по модулю и направлена по касательной к траектории. · Нормальное ускорение � � � an =[w´u] — составляющая полного ускорения, направленная к центру кри- визны траектории. · Равномер � ное прямолинейное движение — движение с постоянной ско- ростью u. ·
Обозначения, используемые в главе 1 95
· Криволинейное движение — движение по криволинейной траекто- рии с изменяющимися векторами касательного � и нормально-
· Вращательное движение — движение м. т. по�окружности, харак- териз�ующееся векторами угловой скорости w и углового ускоре- ния e, модуль которых связан с линейной скоростью м. т. соот- ношениями w = u, e = R d u. dt × R ·
w dt
Вектор углового ускорения
e = w dt � определяет изменение угловой скорости w. · Угловой путь м. т. j - j 0 = w0 t e t 2
где j0и w0– угол и угловая скорость при t = 0. Знак плюс соот- ветствует равноускоренному вращению, а минус равнозамедлен- ному.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 677; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.154.151 (0.148 с.) |