Физический смысл производной

Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Нью- тоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновремен- но. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касатель- ной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изме- нения функции в этой точке по сравнению со скоростью возраста- ния независимой переменной, можно использовать понятие произ- водной при определении скорости различных процессов.

Замечания

1. Для независимой переменной x по определению dx = Ä x.

2. Наряду с обозначением y ¢ используют запись y ¢= dy.

dx

3. В физике для производной по времени приняты следующие

обозначения:

x = x (t); x. = dx.

dt

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.

Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная		Функция	Производная
С (посто- янная)		(1)	log a x	1 × log a e = 1 x x × ln 0	(11)
X		(2)	lg x	1 ×lg e» 0, 4343 x x	(12)
x n	n × x n –1	(3)	sin x	cos x	(13)
x	-1 x 2	(4)	cos x	–sin x	(14)

Продолжение табл.

Функция	Производная		Функция	Производная
xn	- n xn +1	(5)	tg x	cos2 x	(15)
x	2 × x	(6)	ctg x	- 1 sin2 x	(16)
n x	n × n xn -1	(7)	arcsin x	1- x 2	(17)
е х	е х	(8)	arccos x	- 1 1- x 2	(18)
а х	а х × ln а	(9)	arctg x	1+ x 2	(19)
ln x	x	(10)	arcctg x	- 1 1+ x 2	(20)

Существуют следующие основные правила дифференцирова- ния (здесь С — постоянная, а u и v — функции от x, имеющие про- изводные):

(C)¢ = 0 (2.12)

(u + v)¢ = u ¢ + v ¢ (2.13)

(Cu)¢ = Cu ¢ (2.14)

(uv)¢ = u ¢ v + uv ¢ (2.15)

⎛ u ⎞ ¢=⎛ u ¢ v - uv ¢ ⎞

⎜⎝ v ⎟⎠ ⎜⎝ v 2 ⎟⎠

(2.16)

 

Приведем примеры нахождения производных.

Пример 1. Найти производную от функции y = 5 x 3 - 2 x 2 + 3 x - 4.

Основываясь на формуле (2.13), имеем

y ¢= (5 x 3)¢- (2 x 2)¢+ (3 x)¢- (4)¢.

Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем

y ¢= 5(x 3)¢- 2 (x 2)¢+ 3(x)¢.

 

Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим к окон- чательному результату

y ¢= 5 × 3 x 2 - 2 × 2 x + 3×1, или y ¢= 15 x 2 - 4 x + 3.

Пример 2. Дано: y = x 3 cos x. Найти: y ¢.

По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем

y ¢= x 3 (-sin x) +3 x 2 cos x, или y ¢=- x 3 sin x +3 x 2 cos x.

Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы.

 

ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы диф- ференцирования позволяют находить производные от функций толь- ко в самых простых случаях. Знания этих правил и формул недоста- точно для дифференцирования функций более сложного вида, таких,

например, как y (t) =

или y (t) = 3 cos2p t. В подобных случа-

ях пользуются более общими формулами дифференцирования, осно- ванными на теореме о производной функции от функции.

Пусть y есть функция от u: y = f (u), где u в свою очередь функция от аргумента x: u = j(x); в таком случае говорят, что y есть функция от функции. Очевидно, можно записать y = f (j(x)). Если существу-

ютпроизводные fu ¢= f ¢(u) и ux ¢=j¢(x),тосуществуетипроизвод-

ная от y по x, причем имеет место равенство

y ¢= fu ¢× ux ¢. (2.17)

Индексы указывают, по какой переменной производится диффе- ренцирование. Покажем, как пользоваться формулой (2.17).

Пример 1. Найти y ¢, если y = (x 2+ 5 x + 7)8.

Полагая u = x 2+5 x +7,имеем y = u 8.По формуле (3) y ¢=8 u 7 (2 x +5),

или, окончательно y ¢= 8(x 2+ 5 x + 7)7(2 x + 5).

Пример 2. Найти y ¢, если y = ln (x 3 + 7 x + 2).

Принимая в данном случае за u = x 3 + 7 x + 2 и пользуясь форму-

лой (10), получаем

y ¢=

3 x 2 + 7

.

x 3 + 7 x + 2

 

Многие физические величины определяются как производные

по времени от других физических величин. Например, скорость � —

� v

первая производная радиус-вектора r по времени t. Обозначается это

следующим образом:

�

v � = dr

или �= �¢= �.. (2.18)

dt v rt r

Ускорение � — первая производная скорости � по времени t

�

a �

a = dv

v

или �= �¢= �.. (2.19)

dt a vt v

Сила тока I — первая производная заряда q по времени t (или, что то же самое, скорость изменения заряда)

I = dq

dt

или I = qt ¢= q.. (2.20)

Электродвижущая сила индукции e — взятая со знаком «минус» пер- вая производная магнитного потока Ф по времени

e = - dФ илиe=– Ф ¢=- Ф ·. (2.21)

dt t

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции в точке.

2. Дайте определение производной функции.

3. Поясните геометрический смысл производной и дифферен- циала.

4. Поясните механический смысл производной.

5. Пользуясь таблицей производных и основными правилами диф- ференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующих функций:

1) y = 9 x 2 - 2 x + 3,

2) y = 6 x 3 + 3 x - 4,

3) y = 5 x + ln x + 3sin x,

4) y = 7 ln x 3- 2 cos x,

5) y = x 3 ln x,

6) y = x 2 sin x,

7) y = tgx 3 cos x,

 

 

8) y =,

9) y = 3 × cos 2p x.

6. Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1

Радиус-век�тор материал�ьной точки меняется со временем по зако-

� �

ну r (t) = 2 t 2 i + 3 t j + 4 k, м. Найти: 1) зависимость скорости точ-

ки от времени � (t), 2) зависимость модуля скорости от времени v (t),

v �

3) зависимость ускорения точки от времени a (t), 4) зависимость мо- дуля ускорения от времени a (t), 5) значения скорости и ускорения в

момент времени t =�1 с от начал�а движения.

� �

Дано: r (t) = 2 t 2 i + 3 t j + 4 k, м; t = 1 c.

Найти: � (t), v (t), �(), a (t), v, a.

v � a t �

1. Скорость v — первая производная радиус-вектора r по време-

ни. Поэтому для нахождения зависимости � (t) достаточно продиф-

v � �

ференцировать по времени заданную зависимость r = r (t):

()

�

dr

� � � � ×¢ � � � � �

v (t) = = 2 t i + 3 tj + 4 k = 4 ti + 3 j + 0 k = 4 ti + 3 j, м/c. (1)

dt t

2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент вектора. Для модуля скорости

v =.

Из уравнения (1) имеем vx = 4 t м/c, vy = 3 м/c, vz = 0 м/c. Получаем

v (t) = =, м/с (2)

3. Так как ускорением � является первая производная скорости �

a � v

v

по времени, то для получения зависимости a от t необходимо про- дифференцировать по времени полученную выше зависимость �

(t) — выражение (1). Тогда

�

� dv

� � ×¢ � � �

a = dt = (4 ti + 3 j) t = 4 i + 0 j = 4 i, м/с. (3)

 

 

4. Модуль ускорения определяется соотношением a =.

Как видно из зависимости (3), ax = 4 м/c2, ay = 0 м/c2, az = 0 м/c2. По- этому

a = = 4 м/с2. (4)

5. Значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от на- чала движения легко получить, подставив значение времени t = 1 с в

выражения (2) и (4). Тогда v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2. � �

v

Ответ: зависимость скорости точки от времени �(t) = 4 ti + 3 j, м/c;

зависимость модуля скорости от времени v (t) =�

, м/с; за-

a t

висимость ускорения точки от времени �() = 4 i, м/с2; зависимость модуля ускорения от времени a (t) = 4 м/с2; значения скорости и ус- корения в момент времени t = 1 с от начала движения: v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2.

 

Задача 2.2

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению q (t) = 0,03 × cos2p t, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени t = 6 с.

Дано: q (t) = 0,03 × cos2p t, Кл; t = 6 с. Найти: I (6).

Сила тока I — это первая производная заряда q по времени t. Ис- ходя из этого определения, получим зависимость тока в цепи от вре- мени I (t). Для этого продифференцируем заданную зависимость q (t) по времени.

I (t) = dq =(0,03×cos2p t)×¢=-0,03×2p×sin 2p t,А

dt t

(здесь А — Ампер, единица измерения силы тока).

Теперь в полученное выражение подставим значение времени

t = 6 с.

I (6) = -0,03× 2p×sin 2p× 6 = -0,03× 2p×sin12p = 0 A.

(так как sin12p = sin0 = 0) Ответ: I (6) = 0 А.

 

Задача 2.3

Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со време- нем по закону Ф (t) = 4 × sin p t, Вб. Найти модуль эдс индукции e, воз-

никающей в рамке в момент времени t = 8 с.

Дано: Ф (t) = 4 × sin p t, Вб; t = 8 с.

Найти: Ф (8). 2

Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающая в рамке, определяется выражением

.

e(t) = - dФ

dt

Поэтому сначала найдем зависимость эдс от времени, дифферен-

цируя по времени заданную зависимость Ф (t)

⎜⎝

e(t) =-⎛4 ×sin

p ⎞×¢

⎠

t ⎟

t

= -4 × p × cos p t, В

2 2

В полученную зависимость e(t) подставляем t = 8 с и получаем

e(8) =-2p×cos ⎛ p ×8⎞= -2p×cos (4p) = -2p×1 = -6,28 В.

⎜⎝ 2 ⎟⎠

Ответ: модуль эдс индукции e (8) = 6,28 В.

 

 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ

Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной y = f (x) называется такая функция F (x), производная от которой равна f (x) (или, что то же самое, дифферен- циал от которой равен f (x) dx):

F ¢(x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. (3.1)

Первообразных функций для данной — бесконечное множество; разность между двумя первообразными функциями F 1 (x) и F 2 (x) — ве-

 

личина постоянная. Графики всех функ- ций F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x), …, первообраз- ных для данной, представляют собой одну и ту же кривую и получаются один из другого в результате параллельного сдвига кривой в направлении оси орди- нат в ту или иную сторону (рис. 3.1).

 

 

Рис. 3.1

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Общее выражение F (x) + const для

всех первообразных функций от данной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) или от дифференциала f (x) dx. Обозначение:

F (x) + const = ò f (x) dx.

(3.2)

(ò — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — по- дынтегральное выражение).

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенным интегралом функции y = f (x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале [ а, b ] (при этом может быть а < b (случай А) или а > b (случай Б)), называется число, получаемое сле- дующим образом:

1) интервал [ а, b ] разбивается на n «элементарных интервалов» произвольными числами x 1, x 2, …, x n –1, выбранными так, что

a = x0 <x1 <x2 <… <xi <…<xn-1 <xn = b

или

a = x0 > x1 > x2 >… > xi >…> xn-1 > xn = b.

2) внутри (или на границе) каждого элементарного интервала [ xi –1, xi ] выбирается произвольно одно число x I (рис. 3.2):

xi –1 £ x I £ xi

или

xi –1 ³ x I ³ xi;

 

3) значения f (x i) функции y = f (x) в этих выбранных точках умно- жаются на соответствующие разности Ä xi –1 = xi — xi –1 (длины элемен- тарных интервалов [ xi –1, xi ], взятые со знаками «+» или знаками «-»);

4)
все полученные n произведений f (x i) × Ä xi –1 складываются;

 

 

Рис. 3.2

 

 

5) вычисляется предел полученной суммы

 

å f (x i) × Ä xi -1, когда

i =1

длина каждого элементарного интервала Ä xi –1 стремится к нулю (и, следовательно, n ® ¥).

Если этот предел существует и не зависит от выбора чисел xi и xI, то он называется определенным интегралом

b n

ò f (x) dx = lim å f (x i) × Ä xi -1

(3.3)

i =1

Ä xi -1®0

a n ®¥

Символ ò называется знаком интеграла, число a — нижним преде- лом, число b — верхним пределом, функция f (x) — подынтегральной функцией, выражение f (x) dx — подынтегральным выражением, буква x — переменной интегрирования. Значение интеграла зависит только от вида функции f (x) и от пределов a и b, но не зависит от перемен- ной интегрирования, которая может быть обозначена любой буквой.

b b b

Так ò f (x) dx = ò f (y) dy = ò f (z) dz

и т. п.

a a a