Основные параметры, характеризующие затухающие колебания

Логарифмический декремент затухания — логарифм отношения двух амплитуд, смещенных по времени на один период

l = = b

A e -b t

ln 0 T. (6.43)

A e -b(t + T)

Время релаксации затухающих колебаний t — время, в течение ко- торого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Из условия

A e -b t

A e -b(t +t)

0 = e,

 

A e

=

-b t

A e -b(t +t)

-b t

A e

0

A e -b te -bt

 

= e bt = e

находим время релаксации bt = 1, t = 1 и b = 1.

b t

Коэффициент затухания b характеризует быстроту затухания ко- лебаний. Эта величина обратно пропорциональна времени t, в тече- ние которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Подставим выражение для b в (6.43), получим l = T.

t

Так как число колебаний, совершаемых за время релаксации, рав-

но N = t, то

T T 1 1

l = t = t = N.

T

Логарифмический декремент затухания — величина, обратная чис- лу колебаний, совершаемых за время релаксации.

Пример

Логарифмический декремент затухания для кварцевой пластины l = 10–4–10–5, камертона l = 10–3,

математического маятника l = 10–1–10–2.

Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 2,7 раза

для кварцевой пластины после 104–105 колебаний, камертона после 103 колебаний,

математического маятника после 101–102 колебаний.

Выясним, по какому закону изменяется со временем энергия за- тухающих колебаний. Полная энергия деформированной пружины равна

kA 2 k

-b 2

kA 2 - b

Wп = =

2 2

(A 0 e

t = 0 e 2 t.

)

2

 

Таким образом, энергия затухающих колебаний уменьшается так- же по экспоненциальному закону.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Как влияет коэффициент затухания на период затухающих ко- лебаний?

2. Можно ли утверждать, что дифференциальное уравнение зату- хающих колебаний

d 2 x

dt 2

+ 2b dx

dt

+ w2 x = 0

есть иная форма записи второго закона Ньютона?

3. Циклическая частота затухающих колебаний w больше или меньше собственной частоты w0?

4. Нет ли ошибки в утверждении: «Время релаксации затухающих колебаний — время, в течение которого амплитуда колебаний умень- шается в 2,7 раза»?

5. Дайте определение коэффициента затухания b.

6. Дайте определение логарифмического декремента затухания l.

7. Увеличивается или уменьшается период затухающих колебаний, если увеличивается сила сопротивление среды?

8. Увеличивается или уменьшается условный период затухающих колебаний при уменьшении коэффициента упругости пружинно- го маятника?

9. Будут ли происходить периодические колебания, если w0 < b?

10. Величину, равную числу полных колебаний в единицу време- ни, называют частотой колебаний или циклической частотой?

 

Примеры решения задач

Задача 6.11

Затухающие колебания происходят по закону

x = 10 e -0,3 t cos p t.

Найти амплитуду колебаний после n = 10 полных колебаний. Дано: x = 10 e -0,3 t cos p t; n = 10.

Найти: A 10.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненци- альному закону

A = A e -b t.

С учетом условия задачи уравнение примет вид

 

A 10

=10 e -0,3 t.

Так как амплитуду колебаний следует найти по истечении t = 10 T,

то

A 10

=10 e -0,3×10 T =10 e -3 T.

Период колебания равен

T = 2p = 2p = 2 c.

w p

Ответ: амплитуда после десяти полных колебании равна

A 10

= 10 e -3×2 = 10 e -6 = 0, 025 м.

 

Задача 6.12

Пружинный маятник, совершающий колебательное движение, те- ряет за период 9 % энергии. Сколько колебаний совершает маятник за время релаксации t?

Дано: h= Ä W = 0, 09.

W

Найти: N.

Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

0 0

x = A e -b t cos(w t + j).

Чтобы найти число колебаний N за время релаксации t, необхо- димо найти время релаксации. Время релаксации t — время, в тече- ние которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз, связанные с периодом Т и числом N колебаний, совершаемых за время релакса- ции, соотношением t = NT. Коэффициент затухания b связан с вре- менем релаксации t соотношением t = 1.

b

Полная энергия маятника в моменты времени t и t + T имеют

вид:

W (t) =

 

W (t + T) =

kA 2 (t)

,

kA 2 (t + T)

.

Амплитуды затухающих колебаний маятника в моменты време- ни t и t + T имеют вид:

 

0 0 0

-b - t

- t

A (t) = A e t = A e t = A e TN,

 

-

t + T

-b +

- t + T

A (t + T) = A e

(t T) = A e

t = A e

TN.

0 0 0

 

Из условия задачи следует

k A 2 (t + T)

h= W (t) - W (t + T ) =1- W (t + T ) =1- 2 =

W (t)

 

⎡

W (t)

 

- t + T ⎤2

k A 2 (t) 2

= -⎢ A e TN ⎥

 

- 2

= -

1 ⎢ 0

- t ⎥

1 e N.

⎢⎣ A 0 e TN ⎥⎦

Преобразуем полученное выражение и прологарифмируем

- 2

e N = 1- h

- 2 = ln(1- h).

N

Расчетная формула для вычисления количества колебаний за вре- мя релаксации имеет вид

N = - 2.

ln(1- h)

Ответ: за время релаксации пружинный маятник совершит

N = 21,2 колебаний.

 

Задача 6.13

Пружинный маятник совершает затухающие колебания. Вычис- лить коэффициент затухания, если колебания прекратились через t = 20 с. Считать условно, что колебания прекратились, если их ам- плитуда уменьшилась в 100 раз.

Дано: t 1

= 20 c; A 0 A (t 1)

= n = 100.

Найти: b.

Амплитуда затухающих колебаний

A = A e -b t.

Через t 1 секунд амплитуда колебаний уменьшилась n раз.

 

A 0 A (t 1)

= e b t 1 = n.

Прологарифмируем полученное уравнение

ln n = b t 1.

Расчетная формула для вычисления коэффициента затухания име- ет вид

b=ln n.

t 1

Ответ: коэффициент затухания пружинного маятника b = 0,23 c—1.