Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Работа внешних сил при повороте твердого тела
i -ой частицы вращающегося тела (5.17) vi = Ri w, а ее кинетическая энергия 1 1 w2 w2
pi = mivi i 2 i i 2 i i i i 2 i 2
где I m R 2 — момент инерции i -ой час-
Рис. 5.7
T = å T = å(m R 2) = I w2 , (5.44) i i
dA = dT = d I w2= I 2w d w2= I d w = I w d w = I w d w
, (5.45) 2 2 2 z z где ось z совпадает с осью вращения и w z = ±w. Согласно основно- му уравнению динамики вращательного движения (5.27) I e z = Mz. Так как по определению
то получаем e = d w z, z dt I d w z = M. dt z Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобра- зуем его к виду Id w z = Mz dt. Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения про- екции вектора угловой скорости на ось z имеем w = d j z, z dt dA = I w d w = M w dt = M d j z dt = M d j. (5.46) z z z z z dt z z
d j z = d j и работа внешних сил при повороте твердого тела на конеч- ный угол равна j A = ò Mzd j. (5.47) С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетиче- ской энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во- круг неподвижной оси, то (5.44) I w 2 I w 2 A = T - T = 2 - 1, (5.48) 2 1 2 2 где Т 1 и w1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т 2 и w2 — в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с пере- менными моментами инерции. Тогда работа всех сил, действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения
A = å T 2 i - å T 1 i = 2 i 2 i - 1 i 1 i, (5.49) 2 2 i i i i где T 1 i, w1 i и I 1 i — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, а T 2 i, w2 i и I 2 i — в конечный моменты времени.
Вопросы и задания для самопроверки 1. Равна ли кинетическая энергия системы частиц сумме кинети- ческих энергий частиц системы? 2. Запишите выражение для вычисления кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. 3. Запишите выражение для вычисления работы сил, действую- щих на тело при его повороте на конечный угол. 4. Как связана работа сил, действующих на тело, участвующего только во вращательном движении вокруг неподвижной оси, с из- менением его кинетической энергии? 5. Запишите выражение для вычисления изменения кинетической энергии системы тел и частиц при условии, что они участвуют толь- ко во вращательном движении вокруг неподвижной оси.
Примеры решения задач Задача 5.11 Горизонтальная платформа массой M = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n = 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю плат- формы. С какой частотой n ' начнет вращаться платформа, если чело- век перейдет от края платформы к ее центру? Во сколько раз увели- чилась кинетическая энергия платформы с человеком? Считать дви- жение человека бесконечно медленным, платформу — однородным диском радиусом R = 1,5 м, а человек — материальной точкой. Дано: M = 100 кг; m = 60 кг; R = 1,5 м; n =10 об/мин = (1/6) с–1. Найти: n ', Тк. Тн z ν
Q Рассмотрим силы, при- ложенные к человеку и дис- F тр N
` = – ку (рис. а). К человеку при- F тр F тр � mg
W = – ложена сила т�яжести mg, Мg N а норма�льная N и касатель- ная F тр (сила трения), со- ставляющие силы реакции платформы. К платформе
приложена сила тяжести �, сила реакции опоры � со стороны Mg � Q � оси на которую насажен диск, сила трения F т¢р и сила давления W со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоя- щую из пла�тформы и человека. Тогда внешними силами являются � � Mg, mg и Q. Выберем ось z вдоль оси вращения. При таком выборе
все внешние силы направлены вдоль оси z и их проекци�и на оси x и y равны нулю. Так как проекция момента любой силы F на ось z за- висит только от Fx и Fy (5.10) Mz = xFy - yFx, (1) то, очевидно, все M = 0 и суммарный внешний момент M внеш = 0. z � � � z Более того, для данной задачи Mg + mg + Q = 0, так как вдоль оси z система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, име- ет место закон сохранения момента импульса системы тел при враща- тельном движении относительно неподвижной оси (5.43) и I 1(t)w1 z (t) + I 2(t)w2 z (t) = I 1(t ¢)w1 z (t ¢) + I 2(t ¢)w2 z (t ¢), (2) где t и t' — начальный момент времени, когда человек находится на краю платформы, и конечный момент времени, когда человек на- ходится в центре. I 1(t) = I 1(t') = I 1 = MR 2/2 — момент инерции плат- формы (диска), I 2(t) = mR 2 — момент инерции человека в начальный момент времени, I 2(t') = 0 — момент инерции человека в конечный момент времени, w1 z (t) = w2 z (t) = w — начальная частота вращения системы «человек + платформа», w1 z (t ¢) = w2 z (t ¢) = w¢ — конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции век- торов угловой скорости w z тел системы в начальный и конечный мо- мент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора парал- лельны оси z. Таким образом, имеем равенство (I 1 + I 2)w = I 1w¢. (3) По определению w = 2pn, (4) w¢ = 2pn¢. (5) Подставляя (4) и (5) в (3), имеем (I 1 + I 2)2pn = I 12pn¢. (6) Выражая из (6) n¢, получаем равенство
(I + I)2pn I 2 mR 2 2 m n¢ = 1 2 = (1+ 2)n = (1+ )n = (1+ )n. (7) 2p I 1
Требование неизменности момента импульса системы тел подра- зумевает возможность изменения момента импульса каждого из тел системы. Отношение кинетической энергии системы в конечный и началь- ный момент равно Tк = 2 =w¢2 I =n¢2 I 1 =
w I 1 + I 2 (1+ I 2)2 n2 I 1 I 2 mR 2 2 m (8) = 1 = 1+ 2 = 1+ = 1+,
MR 2 M где w и w¢ — начальная и конечная угловая скорость системы (плат- форма и человек), Тн и Тк — начальная и конечная кинетическая энер- гии системы. Подставляя численные значения в (7–8), получаем n¢ = (1+ 2 m)n = (1+ 2 ×60) 1 = 2, 2 × 1 (об/с) = M 100 6 6 = 2,2 · 10 = 22 (об/мин)» 0,37 (об/с), Tк = 1+ 2 m = 1+ 2 ×60 = 2, 2. Tн M
Ответ: n¢ = (1+ 2 m)n = 22 (об/мин)» 0,37 (об/с), M Tк = 1+ 2 m = 2, 2. Tн M
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 502; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.189.2.122 (0.03 с.) |