Содержание книги
Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрическое распределение
Геометрическое распределение выражается следующим образом: (5.7.1) Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным q=1- p. Действительно . Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событие А имеет вероятность p, тогда число опытов X до первого появления события А как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первых n-1 опытах событие А не произойдет, равна (1- p) n-1. А вероятность появления его при n -ом испытании равна p. Отсюда получаем, что вероятность реализации такой серии событий равна . Математическое ожидание . Дисперсия . Распределение Паскаля Распределение Паскаля дискретной случайной величины Х выражается так: , (5.8.1) где p и k – параметры распределения. Параметр p имеет смысл вероятности, то есть . Параметр k – целое положительное число. Математическое ожидание . Дисперсия . Это распределение связано, как и геометрическое, с повторением опытов. Если p – вероятность события А в одном опыте, то до появления этого события k раз потребуется всего k+ x испытаний, где конкретное значение x имеет вероятность (5.8.1). Это распределение обобщает геометрическое распределение. То есть если k =1, то распределение Паскаля совпадает с геометрическим. Действительно, если в (5.8.1) подставить k =1, то получим , что совпадает с геометрическим распределением (5.7.1), если положить, что x= n-1 и учесть, что .
Гипергеометрическое распределение Гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины Х выражается так: , (5.9.1) где N, n, k – целые положительные величины, играющие роль параметров распределения, причем , . Это выражение уже встречалось нам раньше в связи с выборкой размера n из партии деталей размером N, в которой k- число дефектных деталей. Тогда x - число дефектных деталей в выборке из n деталей, а (5.9.1) – вероятность этого значения. Математическое ожидание . Дисперсия . Формула Стирлинга При расчетах вероятностей в дискретных распределениях часто приходится вычислять выражение n!, например,
. Стирлинг вывел удобную для практических расчетов приближенную формулу . (5.10.1) Эта формула особенно удобна при больших n но она дает хорошее приближения и при малых n. На пример при n=2 n!=2, а формула (5.10.1) дает значение 1.9. При n=4 точное значение 4!=24, а приближенное 23.5. При n=8 8!=40320 а приближенное значение 39902.4 с относительной ошибкой 0.01.
Непрерывные распределения Нормальное распределение Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Он характеризуется плотностью вероятности вида: Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (см. рис.6.1.1)
Рис.6.1.1. Графики плотности нормального распределения при различных значениях квадратичного отклонения s.
Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке ; по мере удаления от точки m плотность распределения падает и стремится к оси абсцисс. Докажем, что m - есть математическое ожидание, а s – есть среднее квадратическое отклонение. Для этого вычислим основные числовые характеристики случайной величины Х. Применим замену переменной Первый интеграл равен нулю. Второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона: Следовательно, . На практике параметр m часто называют центром рассеивания. Вычислим дисперсию Х: Та же замена переменной: Интегрирование по частям дает D(X) Первое слагаемое равно нулю, второе , откуда Геометрический смысл: m – центр симметрии кривой плотности распределения; s - характеризует степень рассеивания случайной величины и одновременно расплывчатость кривой, поскольку площадь, ограниченная кривой плотности всегда равна единице. Размерность m и s совпадает с размерностью случайной величины Х. Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка. Делаем замену переменной Интегрируем по частям: Первый член в скобках равен нулю. Получаем: Но момент степени S-2: Следовательно Т. е. можно выражать чётные моменты через моменты на 2 порядка ниже. Нечетные моменты в силу симметрии распределения равны нулю. Т. е. для чётных моментов имеем:
Общая формула для момента порядка S при чётном S: , где под понимается произведение всех нечётных чисел от 1 до S -1. Асимметрия: Эксцесс: Т.е. эксцесс характеризует крутость конкретного закона распределения по отношению к нормальному. Вычислим вероятность попадания случайной величины Х, подчинённой нормальному закону с параметрами m, s на участок от a до b. где F(x) – функция распределения величины Х. Замена переменной Этот интеграл сложный, но существуют специальные таблицы для функций:
Ф* есть нормальная функция распределения. Её таблицы приведены в приложениях учебников и задачников. Свойства функции Ф*: Учитывая последнее свойство, рассмотрим вероятность попадания на участок, симметричный, относительно математического ожидания. * Решим следующую задачу. Отложим от математического ожидания четыре отрезка длиной s и вычислим вероятность попадания случайной величины Х в каждый из них. Вероятностью попадания в четвёртый участок уже практически можно пренебречь. Сумма же вероятностей для первых трёх равна 0,5 с точностью до 0,01 (1%). Т. е. можно сказать, что в интервале укладывается практически всё рассеивание. Такой способ оценки диапазона возможных значений называется правилом трёх сигм. Это правило позволяет грубо оценить величину s. Берут максимально возможное отклонение и делят его на три. Часто (особенно в артиллерийской практике) для характеристики рассеяния кроме среднего квадратичного отклонения используют вероятное (срединное) отклонение, обозначается Е или В. Вероятным (срединным) отклонением случайной величины Х, распределённой по нормальному закону, называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна 0,5. Т. е. вероятность попадания в интервал равна 0,5. Выразим Е через s: Показательное распределение
Плотность и функция показательного распределения положительной случайной величины T выражаются формулами:
(6.2.1)
соответственно, а – параметр распределения. График плотности представлен на рис.6.2.1. В литературе это распределение называют также экспоненциальным.
Рис6.2.1. График плотности показательного распределения при различных значениях параметра a. Математическое ожидание . Дисперсия . Квадратичное отклонение , то есть для показательного распределения математическое ожидание и квадратичное отклонение совпадают. Этот закон широко используется в теории надежности благодаря свойству "отсутствия памяти" (марковскому свойству), которое значительно облегчает выкладки и упрощает расчетные формулы. Суть свойства в том, что вероятность безотказной работы объекта в заданном интервале не зависит от времени предшествующей работы. Показательный закон является предельным для вероятности безотказной работы сложных систем, если система состоит из элементов, каждый из которых отказывает и восстанавливается независимо, но при отказе хотя бы одного элемента простаивает вся система. Такая ситуация на практике весьма распространена. Она имеет место, например, для сложных станков, автоматических линий и др.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 55; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.57.126 (0.009 с.) |