Частота и статистическая вероятность события

Предыдущие формулы для вероятностей событий оказались возможными, так как вероятности элементарных событий удается рассчитать благодаря их равновозможности, вытекающей из симметричности исходов опыта. Однако требование равновозможности исходов опыта обычно не выполняется и соответственно формулой (2.1) воспользоваться нельзя. Монета может быть не совсем симметричной, а игральная кость - со смещенным центром тяжести и т.д. Вероятность соответствующего события в этом случае оценивают по частоте его реализации при многократном повторении опыта.

    Если производится M  испытаний и событие A реализовалось N раз, то очевидно, что вероятность события A

.                              (2.3)

Величину  принято называть статистической вероятностью. Эта величина при малом количестве опытов может существенно отклоняться от вероятности, но с ростом числа опытов она все точнее характеризует вероятность. То есть с ростом M , однако эта сходимость не обычная, её принято называть сходимостью по вероятности.

    Величина X_M  сходится по вероятности к a, если при сколь угодно малом e  вероятность неравенства  с увеличением M неограниченно приближается к единице.

    Так определенная вероятность имеет смысл применять только для массовых явлений, так как здесь она может быть оценена из опыта.

Существует другая трактовка вероятности как степени уверенности в том, что конкретное событие должно произойти. Такая вероятность называется субъективной, если понятие частоты проявления для её определения не применимо. В данном курсе такая трактовка вероятности не рассматривается.

Случайная величина

       Случайная величина – это важнейшее понятие теории вероятностей. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее не известное значение. Если возможные значения можно пронумеровать, то случайная величина называется дискретной, если значением случайной величины может быть любое действительное число в заданном диапазоне, то случайную величину называют непрерывной.

       Например:

• число бракованных деталей в партии из M деталей – дискретная (целочисленная) случайная величина, она может принимать значения 0, 1, 2,…, M;
• диаметр обработанной детали на станке автомате является непрерывной случайной величиной, так как может принимать любые значения в пределах поля допуска и за пределами поля допуска, в случае бракованной детали;
• случайное событие тоже можно рассматривать как дискретную случайную величину, которая может принимать только два значения: 0 – если в результате опыта событие не произошло, и 1 – если событие произошло.