События как множества и операции над ними

    Ранее было отмечено, что элементарные события образуют множество, а все прочие события это подмножества основного множества. В связи с этим к событиям применимы известные операции из теории множеств. Рассмотрим некоторые из них, так как с их помощью рассчитываются, как будет показано в дальнейшем, вероятности сложных событий.

       Если элементарное событие а принадлежит некоторому подмножеству А, то это символически изображается так:

 ,

если а не принадлежит этому множеству, то пишут

 .

Событие A состоит в том, что в результате опыта, произошло одно из элементарных событий, принадлежащих множеству A.

       Пишут , если все элементарные события, принадлежащие B, принадлежат и A. Это значит, что если в результате опыта произошло событие B, то произошло и событие A, так как реализация любого элементарного события из множества B, означает, что произошло событие B, но так как это элементарное событие принадлежит и A, то произошло и A.

       Суммой или объединением двух событий A и B является третье событие C, которое состоит в выполнении события A, или события B, или события A и B одновременно. Обозначается эта операция символом + или , то есть,

 или .

Графически эта операция иллюстрируется на рис.3.1 а.

       Рис.3.1.Иллюстрация операций над множествами событий. а – сложение событий – объединение множеств; б – произведение событий – пересечение множеств; в – разность событий – разность множеств.

 

       Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

       Например, при обработке партии из пяти деталей возможны такие события:

       A₀ - брак деталей отсутствует;

A₁ - брак только одной детали;

A₂ – брак двух деталей;

A₃ – брак трех деталей;

A₄ – брак четырех деталей;

A₅ – брак всех пяти деталей.

То есть множество элементарных событий, образующих полную группу событий опыта

.

Событие

 -

означает, что в партии не более двух бракованных деталей.

Событие

-

означает, что в партии имеются бракованные детали.

       Произведением двух событий А и В является третье событие D, состоящее в том, что в результате опыта появляются одновременно и событие А и событие В. Это значит, что множество С  образуется как пересечение множеств А и В (см. рис.3.1 б). В виде формул произведение записывается так:

 или .

       Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместным появление всех этих событий.

       В том же примере с партией из пяти деталей, событие

означает, что одновременно появляются события и В и С, а это возможно, если в партии одна или две бракованные детали, так как пересечением множеств В и С включает события А₁ и А₂. То есть .

       Разностью двух событий А и С называется событие Е, состоящее в том, что в результате опыта произошло событие А и не произошло событие В. Это значит, что произошло одно из элементарных событий, входящих в А, но не входящих в В (см. рис.3.1 в).  В виде формулы эта операция записывается так:

.

В том же примере с партией из пяти деталей

.

       Обратным по отношению к событию А называют событие , состоящее в том, что в результате опыта событие А не произошло. В виде формулы это утверждение можно записать так (см. рис.3.2):

.

 

Рис.3.2.Иллюстрация обратного события.

 

Например, в том же примере с партией деталей событие

,

так как , а событие

.

    С помощью рассмотренных операций можно определять любые сложные события и в дальнейшем определять их вероятности.

       Рассмотрим более сложный случай. На станке обрабатываются три детали. Пусть D₁, D₂, D₃ – события, состоящие в том, что бракованной является первая деталь, вторая деталь, третья деталь соответственно. Определим событие F, состоящее в том, что одна из трех деталей окажется бракованной.

Полная группа элементарных событий образует следующее множество

Здесь - события, обратные  соответственно.

Искомое событие

.