Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий A и В равна сумме вероятностей этих событий: . (3.1) Эта теорема обобщается и на случай нескольких несовместимых событий. Пусть несовместимые события, тогда . (3.2) Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Следствие 1.Если события А1,…,А n образуют полную группу, то вероятность их суммы равна 1: . Действительно, , то есть составляют достоверное событие, а . Следствие 2. Вероятность суммы противоположных событий и равна 1: . (3.3) Это вытекает из того факта, что - достоверное событие. Формула (3.3) часто используется на практике, так как позволяет определить вероятность прямого события, если известна вероятность противоположного события. Так как они несовместимы, то . Теорема сложения вероятностей требует, чтобы исходные события были несовместимы. Если это не так, то для расчета вероятности суммы двух событий А и В применяется следующая формула: . (3.4) Здесь, чтобы вероятность элементарных событий, входящий в пересечение множеств АВ, не учитывалась дважды, производится вычитание (см.рис.3.3). Рис. 3.3.Иллюстрация к определению вероятности суммы двух совместимых событий
Если суммируются три совместимых события А,В,С, то вероятность суммы . На рис.3.4. дана графическая иллюстрация этой формулы.
Рис. 3.4. Иллюстрация к определению суммы трех совместимых событий. Здесь чтобы вероятность элементарных событий, входящих в множества АВ, АС и ВС не учитывались дважды, вероятности этих событий вычитаются. В сумме вероятностей вероятности элементарных событий, входящих в пересечение АВС, учитываются трижды, как и в сумме , по этому, чтобы не потерялись вероятности элементарных событий, вхоящих в АВС, следует прибавитьих вероятность . Методом индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий: Пример 1. В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет выпадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – 100 руб., на 50 билетов – 20 руб., остальные билеты невыигрышные. Вы покупаете один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события: А – выигрыш не менее 20 руб., А1 – выигрыш 20 руб., А2 – выигрыш 100 руб., А3 – выигрыш 500 руб. Очевидно, По теореме сложения вероятностей Пример 2. Круговая мишень состоит из трёх зон: 1, 2, 3. При одном выстреле вероятность попадания в 1 зону 0,15, во 2 зону 0,23, в 3 зону – 0,17. Найти вероятность промаха. Решение. Обозначим А – промах, – попадание. Тогда где - попадания соответственно в 1, 2 и 3 зоны. Отсюда Из приведённых формул для вероятности суммы совместимых событий можно получить и выражения для вероятностей произведения событий: (3.5) (3.6) Пример 3. Агрегатный станок состоит из 3-х агрегатов: двух агрегатов первого типа – А1 и А2 – и одного агрегата второго типа – В. Агрегаты А1 и А2 дублируют друг друга, т.е. при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того, чтобы станок прекратил работу (отказал) нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата А1 и А2 или агрегат В. Требуется выразить вероятности отказа станка через суммы вероятностей элементарных событий. Обозначим события, связанные с отказами соответствующих блоков, теми же буквами, но курсивом. Решение. Отказ станка – событие С. . Из формулы (3.4) имеем, что вероятность события С равна . Из формул (3.5,3.6) получаем, что Отсюда получаем, что
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 169; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.114.198 (0.01 с.) |