Непосредственный подсчет вероятностей

 

       Существует целый класс опытов, когда вероятности событий легко подсчитываются. Например, в случае подбрасывания симметричной (не вогнутой) монеты возможны два исхода подбрасывания, каждый из которых равновозможен, поэтому вероятность выпадения герба равна 1/2. При подбрасывании правильной игральной кости имеется 6 равновозможных исходов и поэтому вероятность выпадения шестерки равна 1/6. Вообще, если опыт имеет m равновозможных исходов, то вероятность реализации конкретного исхода равна 1/ m  .

    Симметричность возможных исходов обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, поэтому этот случай большого практического значения не имеет. Реально монета может быть слегка деформирована, а кость не совсем симметрична или имеет смещенный центр тяжести. Но не смотря на это рассмотрение таких идеальных схем позволяет проще познакомиться с основными свойствами вероятности, поэтому займемся ими подробнее.

       Введем некоторые вспомогательные понятия.

       Полной группой событий будем называть все возможные события опыта, то есть в результате опыта непременно должно реализоваться одно из них.

       Например:

• при подбрасывании монеты полная группа включает два события: выпадение герба и выпадение цифры;
• при подбрасывании игральной кости полная группа имеет 6 событий: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6;
• очередная обработанная деталь на станке годная или бракованная;
• попадание или промах при выстреле;
• при подбрасывании сразу двух монет полная группа включает три события: выпали оба герба, выпали обе цифры, выпали герб и цифра.

Несовместимыми называются события в данном опыте, которые не могут произойти вместе.

Например:

• не могут при подбрасывании одной монеты выпасть и герб и цифра;
• не могут при подбрасывании одной игральной кости выпасть и 6 и 1;
• в результате обработки детали она может оказаться либо годной либо бракованной:
• за восемь часов работы станка может произойти либо 1, либо 2, либо 3 и т.д. отказов;

Очевидно, что события, входящие в полную группу, должны быть несовместимыми.

Такую группу событий называют так же пространством элементарных событий [5, 9]. Если множество элементарных событий обозначить W, то любое другое сложное событие A будет состоять в реализации одного из элементарных событий, принадлежащих подмножеству A множества W, то есть A есть подмножество множества W. В сокращении это пишется так А . Здесь и в дальнейшем само событие и соответствующее ему подмножество элементарных событий будем обозначать одной заглавной буквой, в данном случае А. Пустое подмножество  соответствует невозможному событию, а W - достоверному событию. Соответственно вероятность невозможного события , а вероятность достоверного события . Соответственно любое другое событие A имеет вероятность .

Если элементарные события из множества W равновозможны и мощность множества (число событий) равно m, а событие A состоит в реализации одного из n событий, то вероятность события A

 .                           (2.1)

Пример 1. Вычислим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости произойдет событие A, состоящее в выпадении четного числа.

Множество W содержит следующие элементарные события: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. Подмножество A содержит события, состоящие в выпадении 2, 4, 6. То есть m=6, а n=3. Значит

Пример 2. В урне находится два белых и три черных шара. Какова вероятность события B, состоящего в том, что наугад вынутый шар будет черным?.

В этом случае множество W =[Б, Б, Ч, Ч, Ч], а подмножество B =[Ч, Ч, Ч]. Здесь Б обозначено событие, состоящее в вытаскивании белого шара, а Ч – черного шара. В данном случае m=5, а n=3, то есть 

Пример 3. В урне a белых и b черных шара. Из урны вытаскивается два шара. Какова вероятность события D, состоящего в том, что они оба будут черными.

Общее количество вариантов вытаскивания двух шаров

Первый множитель – это количество вариантов вытаскивания первого шара, если все шары различны, а второй множитель количество вариантов вытаскивания второго шара.

Количество вариантов вытаскивания двух черных шаров

Здесь первый множитель – число вариантов, когда первый шар оказался черным, а второй множитель – когда второй шар оказался тоже черным. Итак

.

Пример 4. В партии из М деталей N бракованных. Из партии берется выборка a деталей. Какова вероятность события E, состоящего в том что ровно b деталей в выборке окажутся бракованными.

Число равновозможных вариантов выборки а деталей из М         

.

Число тех выборок, в которых все детали будут бракованными

.

Здесь мы воспользовались известными формулами из комбинаторики о числе сочетаний.

                      (2.2)

Приведем здесь полезные для дальнейшего некоторые формулы из комбинаторики.