Геометрическое распределение

 

       Геометрическое распределение выражается следующим образом:

                         (5.7.1)

Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным q=1- p. Действительно

.

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событие А имеет вероятность p, тогда число опытов X до первого появления события А как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первых n-1 опытах событие А не произойдет, равна (1- p) ^n-1. А вероятность появления его при n -ом испытании равна p. Отсюда получаем вероятность реализации такой серии событий равна .

       Математическое ожидание

.

       Дисперсия

.

 

Биномиальное распределение

 

       Дискретная случайная величина X, принимающая значения x_m= m, где

  m = 0,1,…, n, имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой:

.     (5.5.1)

Здесь

-

число сочетаний из n по m,  а параметр p имеет смысл вероятности, то есть .

Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие А имеет вероятность p и опыт повторяется n раз, то вероятность того, что это событие произойдет m раз, рана . Действительно, конкретная реализация n испытаний, в которых событие A произошло m раз, а противоположное событие  соответственно n- m раз, имеет вероятность . Но m событий среди n испытаний могут распределиться  равновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1).

       Сумма

,

так как q=1- p а . Выражение  является членом разложения бинома Ньютона (p+ q) ⁿ, поэтому это распределение называется биномиальным.

       Математическое ожидание

.                  (5.5.2)

       Дисперсия

.                  (5.5.3)

       Квадратичное отклонение

.                                                      (5.5.4)

       Если n устремить к бесконечности и одновременно p к нулю так, чтобы выполнялось соотношение

,

где а положительная константа, то в пределе

,

а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при  и  биномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.

 

 

 

Распределение Пуассона

 

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значение m, выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.

Ряд распределения по закону Пуассона:

	0	1	2	…	m
				…

 

Убедимся, что суммарная вероятность равна единице.

Но                                                            

Следовательно                           

Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.

 

Вычислим вероятность того, что Х окажется больше 0:

Математическое ожидание

Т.е. параметр а - есть математическое ожидание.

Дисперсия

Но                              

Следовательно .

.

Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона.

       Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Ох случайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям:

4. Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок l зависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднем l точек.

5. Точки распределяются независимо.

6. Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше).

       Выделим на оси отрезок длиной l и рассмотрим дискретную случайную величину Х – число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значения Х: 0, 1, 2, …, m, …

       Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок l попадёт m точек.

       На участок Dх попадёт l Dх точек. Это математическое ожидание. Поскольку участок Dх мал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало и l Dх есть вероятность попадания одной точки на участок Dх.

       Пусть существует число n, такое, что . Тогда вероятность попадания в один отрезок равна . А вероятность попадания в m отрезков равна

Обозначим , тогда

.

Что и требовалось доказать.

       Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр а равен , то для плоского случая  (здесь S - площадь области), а для объёмного  (V – объём области).

       Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Причём параметр .

Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Если подставить , то получим

,

что уже было доказано. При большом n приближённо вероятность можно считать:

.

Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.