Проверка статистических гипотез

Вводные замечания

Одной из основных задач математической статистики является задача проверки статистических гипотез. Существо этой задачи поясним на примере. Предположим, что мы хоти проверить, свидетельствуют ли опытные данные о том, что событие A  имеет вероятность p =0.5., если в результате n =280 испытаний событие А проявилось m =151 раз. Среднее значение (математическое ожидание) числа опытов для события A

,

а квадратичное отклонение

,

 если p =0.5.

       Требуется определить, можно ли наблюденную частоту события A m^* =151 достаточно близкой к теоретической норме , отвечающей гипотезе. Для ответа на поставленный вопрос, нужно обоснованно выбрать границы допустимых при нашей гипотезе отклонений частот от математического ожидания, выход за которые можно считать практически невозможными, если гипотеза верна. Выход за эти границы будет свидетельствовать, что принятая гипотеза p =0.5 ошибочна. То есть отклонение частоты от математического ожидания значимо. Если отклонение не выходит за отмеченные границы, то мы вправе считать, что опыт не противоречит нашей гипотезе и наблюденное отклонение объясняется случайностью испытания.

       Обычно в качестве практически невозможных отклонений принимают такие отклонения, вероятность которых не превышает 0.05 или 0.01 или другое значение. Такую вероятность называют уровнем значимости. Отвечающие этому уровню границы отклонений называют границами критической области. Сама критическая область соответствует значениям отклонений, выходящим за отмеченные границы, а область внутри границ называется областью принятия гипотезы. Само правило проверки гипотезы называется критерием значимости.

       Ошибки, возникающие при проверке статистической гипотезы, могут быть двух типов:

       I – можно ошибочно отвергнуть гипотезу, если она верна;

       II – можно ее ошибочно принять, когда она неверна.

Эти ошибки называются соответственно ошибками первого и второго рода. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости. Если β - вероятность ошибки второго рода, то величину 1- β называют мощностью критерия. Таким образом, мощность критерия, это вероятность принятия гипотезы, если она верна.

       Продолжим рассмотрение примера. Границы области принятия гипотезы определим с учетом того, что вероятность конкретного числа реализаций M = m события A при n испытаниях подчиняется биномиальному распределению:

Если уровень значимости принять равным 0.05, то возможные отклонения от среднего значения определяются в результате решения уравнения

.

Это уравнение удобно решать, используя аппроксимацию биномиального распределения нормальным при тех же среднем значении и квадратичном отклонении. Если воспользоваться таблицей для квантилей нормированного нормального распределения, то получим, что для вероятности   квантиль равна .

       Таким образом, область допустимых значений определяется границами

.

В нашем примере m^* =151, что меньше 140+16.4=156.4 и больше 140-16.4=123.6. Это значит, что опытные данные не противоречат гипотезе. Вероятность ошибки при этом равна 5%.

       Если уровень значимости принять , то , а область допустимых значений определяется границами

.

       Из этих данных видно, что если гипотеза p =0.5 верна, то отклонение m^* от np в пяти случаях из 100 может превышать 16.4 и в одном случае из 100 может превышать 21.6. В нашем случае отклонение  находится в области допустимых значений, вследствие чего нет оснований считать гипотезу p =0.5 противоречащей наблюдениям.