Распределение суммы нормально распределенных случайных величин

Если  , X и Y независимы и нормально распределены с плотностями

то сумма Z будет распределена тоже нормально с плотностью

,

где

.

Этот факт доказывается непосредственным интегрированием интеграла сверстки (13.2.1) после подстановки  и .

    Справедливо и более общее утверждение: если

,                           (13.3.1)

где  и b - константы, а Х _i – независимые нормально распределенные случайные величины со средними значениями  и дисперсиями , то Y будет распределено тоже нормально со средним значением

                        (13.3.2)

и дисперсией

.                            (13.3.3)

    Отсюда вытекает, что если суммируются независимые нормально распределенные случайные величины, то сумма будет иметь тоже нормальное распределение с математическим ожиданием, равным сумме математических ожиданий слагаемых и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых. То есть, если

,

то

.                  (13.3.4)

Предельные теоремы

Понятие о законе больших чисел

    Из опыта известно, что в массовых явлениях результат мало зависит от отдельных проявлений. Например, давление, оказываемое газом на стенки сосуда, складывается в результате ударов молекул газа о стенки. Не смотря на то, что каждый удар по силе и направлению совершенно случайны итоговое давление оказывается практически детерминированным. То же самое можно сказать о температуре тела, которая определяет среднюю кинетическую энергию движения атомов тела. Сила тока есть проявление движения элементарных зарядов(электронов). Конкретные особенности каждого случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются. Именно этот факт – устойчивость средних - лежит в основе закона больших чисел: при большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

    В теории вероятностей под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при тех или иных  условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к постоянным величинам или к предельным распределениям.

 

Неравенство Чебышева

    Чебышев доказал неравенство, лежащее в основе доказательства законов больших чисел. Это неравенство утверждает, что если случайная величина X имеет математическое ожидание m_x и дисперсию D_x, то каково бы не было положительное число α, вероятность того, что X отклоняется от своего математического ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной :

.                         (14.2.1)

    Доказательство. Если - плотность распределения X, то

 

,

.

Первое неравенство справедливо, так как сужается область интегрирования, а второе неравенство справедливо, так как  в области интегрирования. Из этих неравенств получаем, что

,

что эквивалентно (14.2.1).

    Пример. Оценим сверху вероятность того, что случайная величина со средним значением  и квадратичным отклонением  отклонится от среднего значения больше чем на 3 .

    Решение. В этом случае  . Из неравенства Чебышева получаем, что

.

Практическое значение неравенства Чебышева невелико, так как оно дает слишком общую и поэтому неточную оценку для вероятности отклонения. Например, для нормального распределения с такими же параметрами отмеченная в примере вероятность равна 0.003, что конечно меньше 1/9, но слишком далеко от этой верхней оценки, даваемой неравенством Чебышева.