Виды степенных средних и способы их расчета

Всякий количественный признак статистической совокупности имеет одно единственное среднее значение. Оно может быть рассчитано различными способами в зависимости от формы выражения осредняемого признака (абсолютной, относительной и средней) и имеющейся информации. В зависимости от степени k получаются различные виды средних.

1. Средняя арифметическая простая – наиболее распространенный вид средней

    k =1

2. Средняя арифметическая взвешенная – используется в том случае, если известны индивидуальные значения признака и их частоты f. Каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называют статистическими весами или просто весами средней.

Пример. По имеющимся данным рассчитаем средний стаж работы сотрудников

Стаж работы, г (x)	3	4	5	6	7	Итого
Количество работников, чел (f)	3	2	4	2	1	12

ода

 

3. Средняя гармоническая простая используется в том случае, если необходимо чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

где  – сумма обратных значений признака.

Пример. Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком со скоростью 60км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Пусть расстояние перевозки составило S км. Никакой роли при расчете средней скорости S не играет. При замене индивидуальных значений скорости  на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной оставалось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой – от скорости черепахи до скорости света. Время поездок равно . Итак,

Сократив все члены равенства на S, получим т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя  и , получаем

Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, т.к. приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит

.

В статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная.

4. Средняя гармоническая взвешенная используется, если известны индивидуальные значения признака и суммарные значения признака.

Пример. Определить среднюю стоимость продукции, если известно

Продукт	Цена, тыс.руб (x)	Сумма реализации, тыс.руб (W)
1	30	600
2	20	990
3	35	350

5. Средняя агрегатная используется, если известны суммарные значения признака и их частоты.                                           

Пример. Определить среднюю стоимость продукции, если известно

Продукт	Количество проданных продуктов (f)	Сумма реализации, тыс.руб (W)
1	30	600
2	20	990
3	35	350

6. Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, а также в технике

k =2

Средняя квадратическая взвешенная

7. Средняя геометрическая используется для расчета среднего темпа роста по цепной схеме                    k = 0

При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k = 2 – квадратическую, при k = 3 – кубическую, при k = 0 – геометрическую, при k = -1 – гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны const. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:  

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего в сессию оценки 2 и 5. Каков его средний бал?

Если судить по средней арифметической, то средний бал равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую  то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки.

Однако студенческий совет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину . Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию.