Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Нахождение частных решений неоднородного лду с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Пусть – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ: – квазимногочлен; – многочлен степени ;
Тогда частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида , – многочлен степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если – корень, то равен кратности корня . Замечание. Коэффициентыв - неопределенные (заранее не неизвестные), находятся методом неопределенных коэффициентов. Пример 1. Соответствующее ЛОДУ: , Найдем . ; – корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности , , , Чтобы найти и , подствим функцию в ЛНДУ: , , , . Коэффициент при 2 Коэффициент при . Получаем СЛАУ относительно и Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами – многочлен степени ; – многочлен степени ; Тогда ; – многочлены степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; равен кратности корня, если является корнем. Пример 1. (уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ). . , , , . Найдем . , (частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает ). Чтобы найти и , подставим в ЛНДУ: . Коэффициент при Коэффициент при Пример 2. , , , , , , Чтобы найти и , подствим в ЛНДУ: Коэффициент при . Коэффициент при .
2.13. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).
Пусть – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ: Соответствующее ЛОДУ: Общее решение ЛОДУ: . – ФСР ЛОДУ, – произвольные постоянные. Теорема. Общее решение ЛНДУ ( ) имеет вид , – ФСР соответствующего ЛОДУ, производные функций определяются из СЛАУ Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель (). Замечание 2. Функций Тогда , – произвольные постоянные. Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ – линейный дифференциальный оператор 2-го порядка. – произвольные постоянные СЛАУ (2.13.2) имеет вид , или . 1. Покажем, что если и удовлетворяют (2.13.3), то функция – решение ЛНДУ (2.13.1). в силу (2.13.3)).
в силу (2.13.3)). Тогда Таким образом – решение ЛНДУ (2.13.1). 2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида . Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее и , удовлетворяет начальным условиям . Для и получим систему - СЛАУ с определителем , т.к. – ФСР ЛОДУ, т.е. – общее решение. Пример. (метод неопределенных коэффициентов неприменим!). Соответствующее ЛОДУ: , , , , , , ,
,
Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка.
(2.14.1) – нормальная система ОДУ. – независимая переменная, – неизвестные (искомые) функции, – определены в области . Если не зависят явно от , то система (2.14.1) называется автономной.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 68; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.237.122 (0.038 с.) |