Теорема о структуре общего решения неоднородного лду n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.

 

 – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами

Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).

Пусть  – частное решение ЛНДУ . Тогда

Док-во: нужно доказать, что  такие, что функция  – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям

.

Решение задачи Коши существует и определено на  в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :

Т.е.  – решение ЛОДУ;  – ФСР ЛОДУ;

Теорема (о наложении частных решений).

Пусть  – частное решение ЛНДУ; ;  – частное решение ЛНДУ; . Тогда  – частное решение ЛНДУ

Док-во:

 

2.11. ЛОДУ с постоянным коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).

 

,

 – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:

.

Рассмотрим случай :

Для произвольного  найдем частное решение вида

.

.

Тогда

Опр. Уравнение  называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Таким образом, при  имеем  и функция  является частным решением  является корнем его характеристического уравнения.

Построение ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами по корням характеристического уравнения.

Случай различных действительных корней.

Пусть  - различные корни характеристического уравнения. Тогда функции

образуют ФСР ЛОДУ.

Док-во:

 – частные решения, т.к.  - корни характеристического уравнения. Покажем, что  – линейно независимы.

 – линейно независимы.

(

При : ).

Тогда .

 

Пример.

.

Характеристическое уравнение:

,

,

,

,

.

Случай кратных действительных корней.

Пусть  - корень кратности , т.е.  – многочлен, причем .

Корню кратности  соответствует  линейно независимых решений:

.

Док-во: (для n=2)

Пусть  - корень кратности  характеристического уравнения

.

Тогда по теореме Виета .

 – решение, т.к.  – корень.

Покажем, что  – также решение:

.

(

 ).

Тогда

.

 – решения, линейно независимые, т.к.  – ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами 2-го порядка и кратным корнем .

Пример.

Характеристическое уравнение:

,

,

.

ФСР: .

Случай комплексных корней кратности 1.

Пусть  – корень характеристического уравнения кратности 1 . Тогда  – также корень кратности 1. Паре корней  соответствуют 2 линейно независимых решения:

.

Док-во:

Рассмотрим комплексную показательную функцию, которую введем по формуле Эйлера

Покажем, что  при :

Тогда для функции

е.  – комплексное решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Т.к.  – решение, то , т.е. , т.е. функции

,

– решения ЛОДУ, они линейно независимы, т.к. .

Примеры.

1. .

,

,

,

.

ФСР: ,

.

2. .

,

ФСР: .

.

4. случай кратных комплексных корней (возможен только при

Пусть  – корни кратности , . Им соответствуют  линейно независимых решений:

.