Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) n-го порядка.

Теорема. Множество частных решений ЛОДУ n-го порядка  является линейным пространством относительно операций сложения функций и умножения на число.

Док-во. Нужно доказать, что операции сложения частных решений и умножения частных решений на число не выводит из множества частных решений, т.е. сумма частных решений  – также решение, произведение частного решения на число  – также решение, .

Пусть  – решения, тогда , т.е.  – решение, , т.е.  – также решение. Нулевым вектором в линейном пространстве решений ЛОДУ является функция .

Итак, решения ЛОДУ n-го порядка  образуют линейное пространство.

 

 

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций и о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ.

 

Опр. Функции  называются линейно зависимыми на , если , не все равные , такие, что

Опр. Если выполнение равенства ( ) на всем интервале  возможно только при , то функции называются линейно независимыми на .

Критерий линейной зависимости:

Функции  линейно зависимы на  для некоторого k=1,….n (т.е. хотя   бы одна из функций линейно выражается через остальные).

Пример.

Т.к. , то функции линейно зависимы на

Пусть функции  раз дифференцируемы на .

Опр. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций  называется определитель

.

Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций

Пусть функции  линейно зависимы на . Тогда :

Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:

Зафиксируем

(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е.  ().

Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.

Пример.  

,

.

Т.е.  на , но  и  линейно независимы, т.к. . Не существует  , таких, что  для всех .

Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ

Пусть  – линейно независимые на  – частные решения ЛОДУ n-го порядка . Тогда

Док-во: (от противного)

Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :

Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).

Рассмотрим частное решение ЛОДУ .

.

Оно удовлетворяет в т.  начальным условиям (в силу (2.7.3)):

Рассмотрим частное решение ЛОДУ

Оно удовлетворяет в т.  начальным условиям

.

Таким образом, частные решения ЛОДУ  и  удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е.  – линейно зависимы на  – противоречит условию линейной независимости .

Т.е.

Замечание. Пусть  – частные решения ЛОДУ . График функции  может иметь вид (см. рис. 37, 38):

Рис. 37	Рис. 38
(для линейно независимых решений)	(для линейно зависимых решений)

Не может иметь вид (см. рис. 39, 40):