Сведение ДУ Бернулли к лнду.

Разделим на  (при  – решение):

Пусть , тогда ,

Подставим в ДУ:

Пример.

(ДУ Бернулли при ;  – решение).

Разделим на

Замена

Подставим, получим

.

Решая методом вариации постоянной, получим

, т.е.

и

.

 

 

2.4. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n=2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.

 

,

 – функция от  переменных.

ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

 

 определена в области .

Опр. Функция  называется частным решением ДУ (2.4.1)на интервале , если при ее подстановке в (2.4.1) получается тождество на .

Задача Коши для ДУ n-го порядка

Найти частное решение ДУ (2.4.1), удовлетворяющее начальным условиям:

где точка .

При   задача Коши имеет вид

,

геометрический смысл: найти интегральную кривую, проходящую через точку  плоскости  и имеющую заданный угловой коэффициент касательной в т. .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ n-го порядка

Пусть функция  и ее частные производные  непрерывны в области . Тогда для  точки , что на интервале  существует и при том единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим следующий вопрос. Пусть для ДУ n-го порядка выполняется условие существования и единственности. При каких  возможно расположение интегральных кривых (см. рис. 35, 36)?

Рис. 35	Рис. 36
(Ответ: соответственно	.)

Опр. Общим решением ДУ n-го порядка (2.4.1) называется семейство функций , зависящее от  произвольных постоянных  такое, что

1. Для  фиксированной  функция  является частным решением ДУ (3).

2. Для  точки  такие, что частное решение  удовлетворяет начальным условиям (2.4.2).

Краевая задача для ДУ 2-го порядка: найти частное решение на отрезке [ , ] ДУ

удовлетворяющее краевым условиям

Опр. Равенство , неявно задающее общее решение ДУ n-го порядка называется общим интегралом ДУ n-го порядка.

 

Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

 

1.

(ДУ не содержит )

Замена

Получаем для  ДУ 1-го порядка:

Находим . Тогда

Пример.

Замена

Получаем для  ДУ 1-го порядка:

Замечание.

ДУ , сводится к ДУ  

2.

(ДУ не содержит явно )

Замена . Подставим в ДУ:

ДУ 1-го порядка относительно . Решая его, получаем общее решение

.

 с разделяющимися переменными

Пример.

.

Замена . Подставим в ДУ:

Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.

 

ЛДУ n-го порядка (неоднородное):

Коэффициенты  и правая часть  – функции, непрерывные на  или на . Для . Разделим на . Получим ДУ вида

(2.6.1)– ЛНДУ го порядка. Соответствующее ЛОДУ:

Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:

где .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка

Пусть  непрерывны на . Тогда для  точки  и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале .

           Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.1₀) – дифференциальный оператор

 .

Покажем, что  является линейным оператором, т.е.  и , где .

,

Таким образом,  – линейный дифференциальный оператор.

Операторная форма ЛДУ:

ЛНДУ:

ЛОДУ: