Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Пусть функция определена на . Опр. Разбиением отрезка называется совокупность точек , где . – элементарный отрезок (), , – диаметр разбиения . Выберем произвольные точки
Опр. Определенным интегралом функции на отрезке называется конечный предел при интегральных сумм , если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек . Обозн.: , т.е. Тогда масса неоднородного стержня: ; координата точки: . Опр. Если для функции существует , то функция называется интегрируемой (по Риману) на . Теорема (необходимое условие интегрируемости.) Пусть функция интегрируема на , тогда ограничена на . Теорема (достаточное условие интегрируемости 1). Непрерывная на функция является интегрируемой на Теорема (достаточное условие интегрируемости 2). Пусть непрерывна на кроме конечного числа точек разрыва первого рода , тогда является интегрируемой на Геометрическая интерпретация определенного интеграла. , непрерывна на
– площадь прямоугольника со сторонами (см. рис. 2). – площадь ступенчатой фигуры При получим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции сверху, осью снизу и прямыми .
Свойства определенного интеграла 1. Линейность Пусть функции и интегрируемы на Тогда a. функция интегрируема на и b. функция () интегрируема на и Док-во: a. составим интегральную сумму для функции Тогда b. Аналогично Тогда
2. Аддитивность (см. рис. 3). Пусть функция интегрируема на , точка , тогда Док-во: Рассмотрим разбиение отрезка такое, что для некоторого . Ему соответствуют разбиения отрезков и , соответственно, и
Т.е. Замечание. Если , то по определению , . Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек ,
Теорема (об оценке определенного интеграла) Пусть интегрируема на , . Тогда . Док-во: . Т.к. , то , При получим
(площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4). Следстви e (интегрирование неравенства). Пусть на , тогда . Док-во: рассмотрим функцию на . Возьмем . По теореме об оценке Пример. т.к. , то . По теореме об оценке
Теорема (о среднем значении для определенного интеграла). Пусть непрерывна на . Тогда такая, что . Док-во: т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений , По теореме об оценке , (равенство возможно только для т.е. для непрерывных функций, отличных от константы . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: . Возьмем .
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 86; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.193.108 (0.02 с.) |