Некоторые формулы приближенных вычислений

Приближённое деление очень упрощается, если знаменатель мало отличается от единицы. Вот формулы, которые показывают, как нужно поступать в этом случае:

Здесь a обозначает делимое, а b - очень маленькое число. Формулы показывают, что в этом случае деление можно заменить умножением. Если делитель чуть больше единицы, то умножаем делимое на число, меньшее единицы (первая формула). Если же делитель чуть меньше единицы, то умножаем делимое на число, большее единицы (вторая формула). Разделим, например, 2, 73 на 1, 03. Имеем

Поделим (для проверки) по обычным правилам:

 

-	2,73	1,03
	2,06	2,65
-	670
	618
-	520
	515

 

Результат получается тот же самый. Здесь была использована первая формула. Дадим пример на применение второй. Поделим 4,30 на 0,96.

Имеем:

Обычное деление дает 4,48. Разница составляет всего % от делимого.

При обычных технических расчётах (допустимая процентная ошибка - 1%) этими формулами можно пользоваться во всех случаях, когда делитель отличается от единицы на 0,05 или меньше (т.е. когда делитель заключён между 0,95 и 1,05).

Этими же формулами можно пользоваться и в тех случаях, когда делитель близок не к единице, а к любому «круглому» числу. Покажем на примерах, как это делается.

Поделим 3,14 на 2,08. Соображаем, что 2,08 равняется 1,04, умноженному на 2. Пишем:

Мы представили знаменатель в виде произведения двух чисел: «круглого» (двойка) и близкого к единице (1,04), и сократили делимое и делитель на 2. Остаётся применить первую формулу:

 

Ещё пример. Поделим 8,86 на 50,9. Делитель близок к 50. Представим его в форме произведения пятидесяти на некоторый дополнительный множитель; чтобы найти этот множитель, делим (в уме) 50,9 на 50. Получаем 1,02. Значит, 50,9 ≈ 50∗1,02. Пишем:

В заключение поделим 16,8 на 388. Делитель близок к 400. Он равен 400-12. Помножим и разделим эту разность на 400; получим:

Значит:

 

Примеры: 3,69:1,04; 84,5:0,99; 436:0,97; 0,00185:1,05; 66,2:10,2; 793:98; 0,0160:0,97; 242∙10⁵:10,4; 36,1:40,9; 53,5:1,98; 0,0718:2,03; 961:4,95; 1,00:3,05.

 

Дадим ещё формулы для приближённого извлечения корней из чисел, близких к единице. Как и в первых двух формулах, b обозначает очень малое число; в обычных технических расчётах (процентная погрешность не больше 1%) b не должно быть больше 0,1. Вот эти формулы:

 

 

Пользоваться этими формулами очень легко.

Вычислим, например, . Пользуемся первой формулой:

Здесь b равняется 0,06.

 

Вычислим ещё . Имеем:

Вычисления гораздо проще, чем при извлечении корня по общему правилу.

Похожие формулы применяются в том случае, когда подкоренное число близко не к единице, а к любому точному квадрату, например, к 4, к 9, к 16 и т.д. Формулы эти лишь немного сложнее предыдущих. Вот они:

При обычных технических расчётах (процентная погрешность порядка одного процента) этими формулами можно пользоваться тогда, когда b раз в 10 меньше, чем a ² (или ещё того меньше).

Примеры:

1)

Здесь a ² = 16, а = 4, b = 1.

Мы видим, что b составляет часть от a ²; это меньше, чем одна десятая, значит, наша формула применима.

 

2)

 

3)

 

Здесь приходится применить вторую формулу.

 

Примеры:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели основные, простейшие приёмы вычислений, как точных, так и приближённых, как устных, так и письменных. Этого очень мало для того, чтобы сделаться вычислителем-виртуозом, но вполне достаточно, чтобы стать хорошим счётчиком-практиком. Читатель, который заинтересуется приёмами быстрого счёта, может найти интересные сведения в книге Я.И. Перельмана «Занимательная арифметика». Лицам, интересующимся приближёнными вычислениями, можно рекомендовать книгу Нейшуллера и Акушского «Как упростить вычисления». Значительно более трудной, но интересной, является книга проф. А. Виттинга «Сокращённые вычисления».

Повторяем ещё раз: счётчику-практику вполне достаточно сведений, имеющихся в этой книжке. Если есть время и охота, то лучше изучить различные вспомогательные средства вычисления: таблицы, графики, номограммы, русские счёты и счётную линейку. Изучение всех этих вспомогательных средств выходит, однако, за рамки нашей книги; их нужно изучать по специальным руководствам, к которым и отсылаем читателя.

[1] Для читателей, знакомых с началами алгебры, заметим, что это правило основано на известной формуле умножения суммы двух количеств на их разность: (а + b)(а - b)= а ²- b ².

[2] Читатель, знакомый с началами алгебры, узнал, конечно, обычные правила действий со степенями.

[3] Не следует думать, что, зная приближённое значение величины и её абсолютную погрешность, мы можем найти точное значение измеряемой величины. Так в примере, разобранном в тексте, мы можем только сказать, что истинное значение веса лежит где-то между 790 и 810 граммами.

[4] При этом получатся различные числа, но близкие друг к другу. Практически всё равно, которое из них считать процентной погрешностью.

[5] Хороший счётчик на хорошей линейке в спокойной обстановке вполне может считать с точностью до 0,1%.

[6] Нетрудно сообразить, что если отбрасывается одна пятёрка, то ошибка получится одна и та же, прибавим ли мы или нет единицу к последней сохраняемой цифре (например, написав вместо 38,5 в одном случае 38, в другом 39, получим одну и ту же ошибку: 0,5). Чтобы не делать ошибок всё время в одном направлении, условились в некоторых случаях увеличивать последнюю сохраняемую цифру на единицу, в некоторых - нет, как это видно из приведённого правила.

[7] Оба числа - приближённые. Предполагается, что и то, и другое содержат какие-то десятые, но мы не знаем, сколько именно.