Извлечение корней из чисел с тремя верными цифрами

Начнём с извлечения корней из чисел, больших единицы, но меньших 100. Извлечём, папример, квадратный корень (с тремя верными цифрами) из 79,3. В таблице квадратов этого числа нет, но есть близкое к нему: 81. Корень из 81 равен 9. Будем считать первым, совсем грубым значением нашего корня, число 9:

 ≈ 9.

Делим данное число (79,3) на это первое приближение, в частном берём только две цифры:

 

-	79,3	9
	72	8,8
-	73
	72
	1

 

Складываем делитель (9) и частное (8,8) и делим сумму пополам. Получим второе приближение. В записи это будет выглядеть так:

 

-	79,3	9
	72	8,8
-	7,3	17,8:2=8,90
	72
	1

 

Второе приближение берём с тремя верными цифрами. Делим подкоренное число на второе приближение (частное берём с тремя верными цифрами). Складываем опять делитель и частное и делам сумму пополам. Полученное третье приближение и даст нам искомый корень:

 

-	79,30	9
	71,20	8,8
-	8100	17,81:2=8,90
	8010
-	900
	890
	10

 

Искомый корень равен 8, 90.

 

Рассмотрим ещё пример. Извлечём корень из 41,5. Из таблицы квадратов видим, что искомый корень лежит между шестью (6∗6=36) и семью (7∗7=49). Но 41,5 не очень близко ни к 36, ни к 49. Поэтому возьмём в качестве первого приближения 6,5 (на практике чаще всего в качестве первого приближения приходится брать не целое число, как было у нас в первом примере, а целое число с половиной).

Далее располагаем действие так:

 

-	41,5	6,5	(первое приближение)
	39,0	6,3
-	250	12,8:2=6,40
	195
	55

 

 

-	41,50	6,40	(второе приближение)
	38,40	6,48
-	3100	12,88:2=6,44
	2560
	5400
	5120
	280

 

 

Примеры: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

 (Проверить себя, возведя полученные результаты в квадрат.)

 

Рассмотрим теперь извлечение корня из произвольных чисел, но корень попрежнему будем искать с тремя верными цифрами. Поэтому данное число тоже будем округлять так, чтобы в нём оставалось три верные цифры. Если дано число, имеющее 2 верные цифры, то и в ответе нужно будет оставить только две цифры: третья будет сомнительной.

Округлив число, разбиваем его на грани, по две цифры в каждой, начиная от запятой в обе стороны (в первой и последней грани может получиться по одной цифре). Вот примеры такой «предварительной обработки» подкоренного числа; грани отделяем запятыми, поставленными сверху («апострофами»):

 ≈  = .

 ≈  =

(если число целое, то подразумеваем запятую в конце его).

 ≈ .

 ≈  = .

 

Отбрасываем теперь все нули и вместо апострофа ставим запятую (снизу).

В первом примере получим»         4,83.

Во втором                »        »         26,4.

В третьем                »        »         39,0.

В четвёртом            »        »         56,5.

Из полученного числа извлекаем корень, как из числа, заключённого между единицей и сотней. Запятую ставим, руководствуясь следующим правилом: если в подкоренном числе есть цифры левее запятой, то в корне будет столько цифр левее запятой, сколько в подкоренном числе было граней до запятой. Если же перед занятою имеется только нуль, то после запятой будет столько нулей, сколько в подкоренном числе после запятой было граней, состоящих сплошь из нулей.

В первом нашем примере будем иметь:

 ≈  = 0, _∗∗∗

 (Перед запятой только нуль; граней после запятой, состоящих сплошь из нулей, тоже нет. Сразу после запятой дойдут отличные от нуля цифры, обозначенные звёздочками.)

Во втором примере:

 ≈  = _∗∗∗-10

(До запятой четыре грани. Значит, в корне должно быть четыре цифры до запятой. Мы найдём только три из них. Нужно либо приписать справа нуль, либо помножить результат на 10¹=10.)

В третьем примере:

 ≈  = _∗,_∗∗

 (одна грань до запятой в подкоренном числе, одна цифра до запятой в корне.)

В четвёртом примере:

 ≈  = 0,00_∗∗∗

 (После запятой имеются две грани, состоящие сплошь из нулей. Значит, корень будет содержать два нуля после запятой.)

Сделаем один пример полностью. Найдём квадратный корень из 0,0003387. «Обрабатываем» подкоренное число:

 ≈  =  = 0,00_∗∗∗

Извлекаем теперь корень из 3,39. Первым приближением может служить 2, так как 3,39 близко к 4.

 

-	3,39	2		-	3,39	1,80
	2	1,6			1,80	1,88
-	13	3,3:2=1,80		-	1590	3,68:2=1,84
	12				1440
				-	1500
					1440

 

 = 0,0184

 

Если нужно извлечь приближённый корень из точного числа, например, из двух, то дописываем столько нулей, чтобы получилось три цифры.

Так, в указанном примере пишем: 2=2,00. Дальше поступаем обычным порядком; два больше 1, но меньше четырёх. Значит,  заключено между 1 и 2. Возьмём первым приближением 1,5:

 

-	2,00	1,5		-	2,00	1,40
	1,5	1,3			1,40	1,42
-	50	2,8:2 = 1,40		-	600	2,82:2 = 1,41
	45				560
				-	400
					280

 

 = 1,41.

О том, как извлекать корни больше чем с тремя верными цифрами, говорить в этой книге нет возможности.

Соответствующие правила есть в любом учебнике алгебры, но они значительно сложнее изложенных здесь.

Примеры: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . (В трёх последних примерах подкоренное число дано точно.)

 

Вычисления по формулам

При технических расчётах часто приходится решать много сходных между собою задач, задач с одинаковыми условиями, но с разными числовыми данными. В этих случаях очень важно установить возможно более простое правило, очень короткое, выразительное, удобное для запоминания и удобное для вычислений. Наиболее сжатым и совершенным видом такого правила является формула.

Рассмотрим такую задачу: поезд прошёл 100 км за 2,5 часа. Определить скорость поезда, т.е. число километров, которое он делает в 1 час. Раз 100 км он делает в 2,5 часа, то в 1 час он сделает в 2,5 раза меньше; следовательно, нужно 100 разделить на 2,5. Получим 40 километров в час. Отсюда правило: чтобы найти скорость поезда, нужно пройденное им расстояние разделить на время, в течение которого это расстояние пройдено. Эту же мысль можно записать проще, именно так:

или

скорость = (пройденный путь): (время).

 

При этом сразу видно, какое арифметическое действие нужно произвести над данными величинами, чтобы получить искомую.

Можно сделать ещё один шаг в деле рационализации записи. Вместо того, чтобы писать: «скорость», «путь», «время» - писать только первые буквы этих слов: «с» вместо «скорость»; «п» вместо «путь»; «в» - вместо «время». Тогда наше правило запишется совсем коротко.

  или

Если теперь нужно решить задачу с другими числовыми данными, например, узнать скорость поезда, который за  часа сделал 25 км, то мы можем не тратить времени на рассуждения. Берем наше правило: с = п: в, вместо «п» подставляем 25, вместо «в» -  и получаем:

с = 25:  =  :  =  =  километра, в час.

Правило, в котором величины обозначены буквами и прямо указывается, какие арифметические действия нужно произвести над данными величинами, чтобы получить искомую, называется формулой.

Мы говорим:

есть формула для вычисления скорости движения.   Если дана формула для решения задач некоторого типа, то само решение сводится к подстановке в формулу чисел на место букв и выполнению указанных действий.

В качестве примера приведём формулу для вычисления площади круга. Вот эта формула:

Здесь буква S обозначает искомую площадь круга, буква d - диаметр (поперечник) круга. Формула показывает, что величину диаметра нужно возвести в квадрат (умножить саму на себя) и умножить на 3,14. Разделив то, что получится на четыре, получим искомую площадь круга.

Если измерение дало, например, что диаметр вала равен 10,5 см, то для вычисления площади сечения вала подставляем в нашу формулу вместо d его значение, т.е. 10,5 см. Получим:

 =

 (подставили 10,5 вместо d, возвели 10,5 в квадрат и сократили на 2). Ввиду того, что 10,5, как результат измерения, величина заведомо приближённая, округляем её квадрат (110,25), сохраняя три верные цифры, и выполняем действия в уме:

 = 86,4 квадратных сантиметров.

Формула является не только удобной записью правила. Алгебра учит нас, как с помощью формул получать новые правила, открывать новые соотношения между величинами. Но эта часть работы с формулами выходит за рамки нашей книги. Ограничимся тем, что дадим несколько удобных формул для приближённых вычислений и покажем, как ими пользоваться.