Вычисления с простыми и десятичными дробями

При решении практических задач часто приходится иметь дело одновременно и с простыми, и с десятичными дробями. Приходится, например, выполнять действия, вроде следующих: 0,3 + ;  - 0,017; ∗0,13; :4,6 и т.д.  Заметим, что при сложении и вычитании нужно либо все дроби превратить в простые, либо все в десятичные. Удобнее считать, пользуясь десятичными дробями. Поэтому обычно все дроби переводят в десятичные. Особенно удобно это в том случае, если ищется приближённый результат. Если же знаменатели дробей невелики и требуется точный результат, то лучше превращать все десятичные дроби в простые, чтобы не иметь дела с периодическими дробями.

Напомним, как обратить десятичную дробь в простую: превратим, например, 0,36 в простую дробь. Прочитываем эту дробь; имеем тридцать шесть сотых; значит, знаменателем будет 100, а числителем 36. Записываем  и сокращаем насколько можно; в нашем примере можно сократить на 4. Получаем

0,36 =  = .

Итак, чтобы превратить десятичную дробь в простую, прочитываем десятичную дробь и записываем её в форме простой дроби так, как читаем; затем, что можно - сокращаем.

Если нужно превратить простую дробь с десятичную, то делим числитель на знаменатель по обычным правилам. Чаще всего деление продолжается при этом без конца (получается периодическая дробь) и приходится довольствоваться приближённым результатом.

 

Примеры: 1) Превратить  в десятичную дробь. Делим 5 на 32.

 

-	50	32
	32	0,15625
-	180
	160
-	200
	192
-	80
	64
-	160
	160
	0

 

Получим 0, 15625.

 

2) Превратить ³/₇ в десятичную дробь. Делим 3 на 7:

 

-	30	7
	28	0,4285714…
-	20
	14
-	60
	56
-	40
	35
-	50
	49
-	10
	7
	30

 

Деление никогда не закончится. Получится периодическая дробь 0,428571428571428571..., которую записывают часто так: 0,(428571), т.е. пишут только первый период, но заключают его в скобки.

 

Примеры: превратить в простые дроби: 0,72; 0,0128; 0,625; 0,17; 0,3; 0,2.

Превратить в десятичные дроби:

 

Если нужно сложить или вычесть дроби, среди которых есть и простые с небольшими знаменателями, и десятичные, то превращаем все дроби в простые и выполняем действие по обычным правилам.

Примеры:

1) 0,42 +  +  + 0,016 =

=  +  +  +  =

=  +  +  +  =

=  +  +  +  =

=  =  = 1 .

 

Общий знаменатель 750. Дополнительные множители 15, 250, 150 и 6.

2)  - 0,48 =  -  =  -  =  =

3) 0,096 -  =  -  =  -  =  = .

При умножении и делении нет надобности сводить все данные дроби либо только к простым, либо только к десятичным. Действуем с десятичными дробями по тем же правилам, как и с целыми числами.

Умножим, например, 4,5 на . Пишем:

4,5∗  =  =  = .

Нет никакой надобности превращать 4,5 в простую дробь или в десятичную.

Разделим, далее, 0,133 на . Пишем:

 =  =  = 0,19∗5 = 0,95

Всё выполняется просто и гладко.

Заметим, что помнить все правила деления дроби на целое число, целого числа на дробь и т.д. не нужно. Важно твёрдо помнить правило деления дроби на дробь: числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, это будет числитель частного; знаменатель первой дроби умножается на числитель второй, это будет знаменатель частного. Ещё лучше просто представлять себе схему (деление дробей «крест-накрест»).

 =  =

Если делимое (или делитель) будет целым числом (или десятичной дробью), то подписываем под ним в качестве энаменателя единицу (от этого число, разумеется, не меняется) и пользуемся правилом деления дроби на дробь.

Примеры на умножение:

0,24∗ ; 0,72∗ ; ∗0,056; ∗0,18; 0,311∗ ; 0,14∗ ; ∗0,11.

В последних четырёх примерах действие идёт не так гладко, как в первых трёх. Умножим, например,  на 0,18; получим ∗0,18 = . Сократить ничего нельзя, делить десятичную дробь на 7 - это обрекать себя на бесконечное деление. Поэтому умножаем числитель и знаменатель на 100 - чтоб устранить десятичную дробь в числителе - и получаем - , а по сокращении на 2 - окончательный ответ: .

Примеры на деление:

; ; ; ;

; ; ; .

В последнем примере сначала превратить целое число с дробью, т.е. , в неправильную дробь. Два даст , всего восемь четвёртых, да 3 четвёртых - одиннадцать четвёртых.)

Если нужно перемножить несколько дробей, то сначала выписываем над чертою все числители, а под чертою - все знаменатели. Затем всё, что можно, сокращаем. И только после этого перемножаем числа, стоящие над чертою (это будет числитель), и числа, стоящие под чертою (знаменатель).

Вычислим, например, .

Записываем так:

 =  =

(сокращаем 8 и 4; 0,25 и 5; 0,034 и 17)

=  = 0,9∗0,002=0,0018.

 

Вот ещё пример: перемножим , , , 0,121,  и 0,15.

Пишем:

 =  =

(сокращаем 0,121 и 11; 0,15 и 3)

=  =  =  =  = .

 

Примеры:

; ;

; .

 

В последнем примере превратить сначала целое число с дробью в неправильную дробь.

 

Процентные вычисления

В первой главе мы рассмотрели три основные задачи на проценты. Если данные нам числа не так просты, как это было в примерах первой главы, то задачу приходится решать на бумаге.

В задачах первого типа даётся число и указывается, сколько процентов от него составляет искомая величина. Найдём, например, 23% от 845.

Пишем так:

23% от 845; 23 = 20+3

20% от 845;  часть от 845; 845:5=169

1% от 845 = 8,45; 8,45∗3= 25,35

23% от 845 = 169+25,35 = 194,35

Иногда удобнее представлять проценты не в виде суммы, а в виде разности. Найдём, например, 45% от 264.

45% от 264; 45 = 50-5.

50% от 264 = 132

5% от 264 = 13,2

45% от 264 = 132-13,2 = 118,8

В задачах второго типа даются два числа. Требуется узнать, какой процент составляет одно от другого. Узнаем, например, какой процент от 275 составляет 15? Рассуждаем так: 275 составляет 100%, следовательно, 1» %

(единица в 275 раз меньше, чем 275), а 15 составляет  (в 15 раз больше).

Остаётся вычислить . Записываем:

275 = 100%

1 = %

%  =  =  = %.

(При переходе от второй дроби к третьей мы сократили на 25.)

 

В задачах третьего типа данное число составляет некоторый процент от искомого. Решим, например, такую задачу: 72% от некоторого числа составляют 15. Найти само это число.

Рассуждаем так же, как в предыдущей задаче.

72% = 15

1%  =  (в 72 раза меньше, чем 72%),

100% =  (в 100 раз больше, чем 1%).

Остаётся вычислить

 =  =  =

Искомое число:

 

Рассмотрим задачи на проценты, которые внешне несколько отличаются от трёх основных.

Задача 1-я. Сберегательная касса платит по срочным вкладам 5%. Я положил некоторую сумму денег и через год получил 1785 рублей. Какая сумма была положена?

Необычность задачи в том, что даётся не сама величина, и не её доля, составляющая данный процент, а сумма самой величины и её доли. Тем не менее простое рассуждение покажет, что перед нами - обычная задача третьего типа.

В самом деле, имелась некоторая сумма, составлявшая 100%, да к ней прибавилось 5%. Значит, новая сумма составляет 100+5 = 105%.

Дальнейшее просто:

105% = 1785 руб.

1% = руб. (в 105 раз меньше, чем 105%).

100% =  (в 100 раз больше, чем 1%).

Остаётся вычислить , что даёт 1700 руб.

 

Задача 2-я. Забраковав 4% продукции, браковщик принял 2592 детали. Сколько всего было изготовлено деталей?

Рассуждение такое же, как в предыдущей задаче. Из всей продукции, составляющей 100%, забраковано 4%. Значит, осталось 100-4 = 96%.

 

Дальнейшее просто:

96% = 2592;

1% = ;

100% =

 =  = 27∗100 = 2700 деталей.

(сначала сократили дроби на 12).

 

Задача 3-я. Население города было 44000, стало 48000 человек. На сколько процентов возросло население?

Прежде всего находим прирост населения. Он равен 48000-44000 = 4000. Теперь задача свелась ко второму типу: какой процент составляет 4000 от 44000 (от первоначального числа жителей).

44000 = 100%

%

%

 =  =  = %.

Значит, и население города увеличилось на %.

 

Задача 4-я. Стахановец, выполнив норму на 420%, обработал 4620 деталей. Сколько деталей обработал он сверх нормы?

Несмотря на необычность постановки вопроса, это -обычная задача третьего типа. Только «доля» здесь значительно больше самого числа; но это не влияет на ход рассуждения.

 

Рассуждаем так:

420% = 4620 деталей

1% =  деталей

100% =  деталей

 = 1100 деталей.

Значит норма - 1100 деталей, а сверх нормы 3520 деталей.

 

Задача 5-я. Я хочу купить бумаги на 100 рублей. Один лист бумаги стоит 80 копеек, и я могу покупать со скидкой в 20%. Сколько листов я могу купить?

Рассуждаем так. Узнаем сначала, сколько мне будет стоить один лист. Я уплачу за него не 80 копеек, а только 80% от этого числа (100-20 = 80), то есть

 = 64 копейки

(задача первого типа).

Значит, на 100 рублей(=10000 копеек) я могу купить

 =  =  листов

или, так как части листов не продаются, я могу купить 156 листов, и у меня ещё останется 16 копеек (стоимость  листа).

Продавец будет считать немного иначе. Если я попрошу его отпустить мне 156 листов, то он будет считать так:

1 лист стоит 80 копеек,

156 листов стоят 80∗16 = 12480 копеек или 124 р. 80 к.

С каждой сотни рублей делается скидка в 20 рублей; с 24 р. 80 к. скидка округляется, эта сумма принимается за 25 рублей, и 20% от 25 составляет 5 рублей. Значит, скидка равна 25 рублям, и я уплачу

124 р. 80 к. - 25 р. = 99 р. 80 к.,

т.е. получу не 16, а 20 копеек сдачи.

 

Подведём итоги. Имея задачу на проценты, прежде всего, приводим её к одному из трёх основных типов. При этом не смущаемся, если «доля» оказывается больше самой величины. Затем задачи второго и третьего типов решаем «приведением к единице» (это, обычно, проще искусственных приёмов), а в задачах первого типа стараемся так разбить указанное число процентов на слагаемые или вычитаемые, чтобы было легче найти соответствующие им доли.

 

ГЛАВА III

ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ