Умножение приближённых чисел

Если приближённое число нужно умножить на точное (например, удвоить, утроить и т.д.), то поступаем так же, как при умножении точных чисел. Процентная погрешность произведения равна при этом процентной погрешности приближённого множителя, поэтому в произведении оставляем столько цифр, сколько их в приближённом множителе. Например, 3,66∗2 = 7,32; 7,68∗9 = 69,12 ≈ 69,1.

Если оба сомножителя заданы приближённо, то дело обстоит иначе.

Отметим, прежде всего, следующее важное обстоятельство: число верных цифр произведения равно числу верных цифр наименее точного множителя. Если, например, в одном множителе четыре верные цифры, а в другом - только две, то в произведении можно будет ручаться только за две, цифры. Поэтому и первый множитель можно округлить, сохранив в нём только две верные цифры.

При приближённом умножении у всех множителей сохраняют одинаковое число верных цифр.

Действие располагаем так: подписываем множитель под множимым, причём цифры множителя пишем в обратном порядке, справа налево. Подчёркиваем, ставим слева знак умножения. Запятых обычно не пишем. Если надо, например, умножить 25,63 на 0,8345, то запишем это так: 25,63∗0,8345 =

 

∗	2563
	5438
	.....	(точки показывают, что действие будет продолжаться)
	.....

Умножаем теперь крайнюю правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертою, а затем зачёркиваем крайние правые цифры обоих сомножителей:

25,63∗0,8345 =

 

∗	2563
	5438
	20504
	.......
	.......

 

Далее умножаем крайнюю справа незачеркнутую цифру множителя на незачёркнутую часть множимого. Результат записываем под первым произведением, не сдвигая его влево (в отличие от обычного умножения), а единицы под единицами и т.д. Выполнив действие, зачёркиваем вторые справа цифры:

25,63∗0,8345 =

 

∗	2563
	5438
	20504
	768
	.......
	.......

 

 

 

Снова крайнюю правую незачёркнутую цифру множителя умножаем на незачёркнутую часть множителя и так продолжаем до тех пор, пока не зачеркнём все цифры:

25,63∗0,8345 =

 

∗	2563
	5438
+	20504
	768
	100
	10

 

Остаётся сложить все произведения. Последнюю цифру отбрасываем, а предпоследнюю увеличиваем на единицу, независимо от того, какова отброшенная цифра. Соображаем где поставить запятую. Двадцать пять умножаем на восемь десятых, т.е. почти на единицу. Результат должен быть около двадцати. Значит, запятую нужно поставить после второй цифры слева. Вся запись в окончательной форме выглядит так:

25,63∗0,8345 = 21,39

 

∗	2563
	5438
+	20504
	768
	100
	10
	21382

 

 

Перемножим наши числа, пользуясь обычным правилом:

 

∗	2563
	0,8345
+	12815
	10252
	7689
	20504
	21,388235

 

При пользовании обычным правилом приходится делать много лишних умножений и складывать более громоздкие числа, а точность в конечном итоге получается та же самая.

Вот ещё примеры:

1) 298∗0,0365=10,8

∗	298
	563
+	894
	174
	10
	1078

 

2) 654,385∗5434∙10³ = 3556∙10⁶

∗	6544
	4345
+	32720
	2616
	195
	24
	35555

 

Обращаем внимание читателя на второй пример. В одном из сомножителей шесть верных цифр, в другом - всего четыре. Значит, в произведении получится четыре верные цифры, а потому и в первом сомножителе достаточно сохранить четыре цифры (округлив его по обычному правилу). Как теперь определить число нулей в конце произведения? Один из наших сомножителей близок к 600, другой - к 5000, их произведение будет близко к 3000000, т.е. будет содержать семь цифр; да 10³ даст ещё три нуля. Всего десять цифр. Четыре мы имеем (3556). Остаётся приписать 6 нулей или множитель 10⁶.

Сформулируем теперь общее правило перемножения двух приближённых чисел, данных с одинаковым числом верных знаков. Чтобы перемножить два приближённых числа, имеющих поровну верных цифр, подписываем одно под другим, причём цифры множителя (написанного внизу) пишем в обратном порядке и подчёркиваем. Умножаем правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертой, а крайние правые цифры зачёркиваем. Умножаем затем первую справа из незачеркнутых цифр множителя на незачёркнутую часть множимого, результат подписываем под первым произведением, единицы под единицами, десятки под десятками и т.д., не сдвигая его влево. После этого зачёркиваем вторые справа цифры множимого и множителя. Продолжаем это до тех пор, пока не исчерпаем всех цифр множимого и множителя. После этого складываем все числа, написанные под чертой, зачёркиваем последнюю цифру суммы, предпоследнюю увеличиваем на единицу и ставим запятую или добавляем нули.

Заметим, что если первые цифры множимого и множителя малы (дают в произведении меньше десяти), то при этом способе вычисления может получиться одною верною цифрой меньше, чем мы ожидаем. Умножим, например, 214 на 143:

 

∗	214
	341
+	214
	84
	6
	304

 

Верные цифры будут: 31. Умножая 200 на 100, получим 20000; значит, и наше произведение будет содержать пять цифр; следовательно, 214∗143 ≈ 31∙10³. Нужно сказать, что в этом случае можно сохранять все цифры приближенного произведения, увеличив последнюю на единицу, т.е. писать 214∗143 ≈ 305∙10². Но при этом, последняя цифра может на единицу или двойку отличаться от истинной. Обычно этим не смущаются, получая и в этом случае три цифры в произведении.

Примеры: 24,36∗8,25; 0,632∗4,234; 0,053825∗4,6848; 2,3∗64,10⁵; 363∗515[7]; 24, 45∗3816∙10²; 32,38∗5,634; 6,12∗8,734; 436∙10∗2,83; 52,63∗360,6; 283,1∗44,95; 126∗25,3; 3,18∗0,0212; 1,27∗0,425.