Устное умножение приближённых чисел, содержащих по три верные цифры

Если приближённые числа содержат по две верные цифры, то нет надобности прибегать к правилу, данному в предыдущем параграфе. Ведь, двузначные числа легко перемножаются в уме. Но оказывается, что при приближённых вычислениях нетрудно перемножать в уме трёхзначные числа, получая в произведении три верные цифры. Ввиду того, что расчёты с тремя верными цифрами важнее всего для практики (в технике чаще всего допускается погрешность в 1%), с этим приёмом стоит познакомиться.

Перемножим, например, 546 на 385, считая эти числа приближёнными и интересуясь только первыми тремя цифрами произведения. Умножаем первую цифру множителя на первые две цифры множимого: три на пятьдесят четыре даст 162. Далее умножаем вторую цифру множителя на первую цифру множимого: восемью пять - сорок. Складываем эти результаты: было 162, да сорок, - всего 202. Теперь остаётся добавить поправку, которую получаем так: умножаем первую цифру множимого на последнюю множителя; вторую цифру множимого на вторую множителя; третью цифру множимого на первую множителя. Все три произведения складываем и первую цифру суммы добавляем к первому результату. В нашем примере: пятью пять - двадцать пять, да четырежды восемь - тридцать два, всего пятьдесят семь, да шестью три - восемнадцать, всего семьдесят пять. Первая цифра - семь, добавляем её к 202 - получаем 209; результат на единицу увеличиваем: получаем 210. Это и будут искомые три цифры произведения. Сообразно, сколько нужно приписать нулей. Пятьсот на триста даст 150000, значит, должно получиться шестизначное число; три цифры у нас есть; остаётся добавить три нуля. Получим окончательно 210000. Впрочем, лучше записать ответ так: 210∙10³, подчёркивая его приближённый характер и ручательство за три первые цифры.

Точно так же поступаем, когда нужно перемножить нецелые числа. Умножим, например, 0,861 на 23,8. Сначала на запятые вовсе не обращаем внимания. Два на восемьдесят шесть - 172, да трижды восемь - 24, всего 196, Вычисляем поправку: восемью восемь - 64, да трижды шесть - 18, всего 82, да один раз 2 - всего 84. Первая цифра 8. Увеличиваем её на единицу и прибавляем к нашему первому результату (196) - получим 205. Это первые три цифры искомого результата. Где же будет запятая? Множимое близко к 0,8, множитель - к 20. Умножив 20 на 0,8, получим 16. Значит, и в нашем произведении до запятой должно стоять два знака. Окончательный ответ будет: 20,5.

Если первые цифры множимого и множителя невелики, то этот приём лучше несколько видоизменить.

Умножим, например, 251 на 194. Один на двадцать пять - двадцать пять, да девятью два - восемнадцать, всего 43. Получилось всего две цифры, а не три; поэтому мысленно приписываем к результату нуль, получим 430, а поправку прибавим полностью, не ограничиваясь её первой цифрой. Вычисляем поправку: дважды четыре - восемь, да пятью девять - сорок пять, всего пятьдесят три, да один, да единицу накидываем - пятьдесят пять. Четыреста тридцать да пятьдесят пять - получается 485. Соображаем, сколько нулей следует добавить. Оба сомножителя близки к 200, значит, произведение будет близко к 40000. Поэтому окончательный результат будет: 485∙10².

Примеры (сделать устно): 248∗563; 21,9∗81,1; 0,312∗5,26; 4,14∗0,0295; 12,3∗2,29; 8,36∗0,00316; 663∗2,85; 0,0812∗0,781; 24,5∗0,0311.

 

Деление приближённых чисел

При делении приближённого числа на точное (пополам, на 3, на 5 и т.д.) поступаем с ним так же, как с точным. В частном оставляем столько значащих цифр, сколько верных цифр было в делимом.

Например, 94,26:3=31,42; 8,25:7=1,178 ≈ 1,18.

Когда и делимое, и делитель - числа приближённые, то число верных цифр частного равно числу верных цифр того из данных чисел, в котором верных цифр меньше. Если число верных цифр делимого и делителя не одинаково, более точное из них округляют так, чтобы верных цифр стало поровну. Если, например, нужно разделить 83,756 на 22,1, то делимое следует округлить, отбросив две последнее цифры, т.е. делить 83,8 на 22,1. Точность при этом не уменьшится: всё равно в частном можно получить только три верные цифры.

Начинаем делить так же, как при обычном делении. Делитель пишем справа от делимого и отделяем его «углом».

При делении, например, 318 на 265 начинаем как обычно:

 

-	318	265
	265	1,..
	53
……..
……..

 

Выполнив первое деление и получив первый остаток, не приписываем к нему нуля, как при обычном делении, а зачёркиваем последнюю цифру делителя, соблюдая при этом правило округления. Затем продолжаем делить и получаем вторую цифру частного и второй остаток:

 

-	318	265
	265	1,2..
-	53
	52
	1
	….
	….

 

Зачёркиваем следующую цифру делителя и так поступаем до тех пор, пока не исчерпаются все цифры.

В нашем примере деление закончится после третьей операции. Окончательная запись выглядит так:

 

		3
-	318	265
	265	1,20
-	53
	52
	1

 

 

Ответ: 1, 20

 

Зачёркивая вторую цифру (6), мы по правилу округления увеличиваем предыдущую на 1. Поэтому двойка зачёркнута и над ней поставлена тройка. После третьей операции и эта отройка будет зачёркнута.

 

Если делимое меньше делителя, то пишем в частном нуль целых и запятую, а к делимому приписываем справа нуль. Разделим, например, 4832 на 6218:

 

		2
-	48320	6218
	43526	0,7771
-	4794
	4354
-	440
	434
-	6
	6
	0

 

Ответ 0,7771 содержит четыре цифры. Все эти цифры -верные.

При этом способе деления иногда случается обстоятельство, которое может поставить начинающего в тупик. Разделим, например, 999 на 835:

 

		4
-	999	835
	835	1,1…
-	164
	84
	80
	….
	….

 

Теперь нужно 80 делить на 8. Получается десять - двузначное число. Как быть? В этом случае пишут на очередном месте нуль, а предыдущую цифру увеличивают на единицу. Запись выглядит так:

 

-	999	835
	835	1,1(10)
-	164	1,20
	84
-	80
	80

 

На третьем месте ставим нуль, вместо единицы на втором месте пишем двойку, а восемь умножаем на 10 и вычитаем из последнего остатка, как обычно.

В примерах, разобранных нами, делимое и делитель были целыми числами (приближённо целыми, разумеется). Если оба они или хотя бы одно из них имеет десятичную часть, то сначала запятые отбрасываются, деление выполняется, как в разобранных примерах, а затем запятая ставится «по соображению». Разделим, например, 2,38 на 0,0870. Начинаем с того, что делим 238 на 870, причём запятой в частпом не пишется (не пишем и нуля, ей предшествующего). Нуль на конце делителя отброшен быть не может, иначе счёт цифр изменится. Действие будет выглядеть так:

 

		9
-	2380	870
	1740	27,3
-	640
	609
-	31
	27
	4

Чтобы поставить запятую, рассуждаем так: две целых делим на 8 сотых, т.е. почти на одпу десятую. Делить на одну десятую-это всё равно, что умножить на 10. Значит, получится около 20. Следовательно, запятую надо поставить после второй цифры слева: 27, 3.

Разделим ещё 423∙10³ на 29,2. Делим 423 на 292:

 

		3
-	423	292
	292	145∙10^2
-	191
	116
-	15
	15

 

Как быть с запятой или с дополнительными нулями? Рассуждаем, как в предыдущем примере: 423∙10³ близко к 400000; 29,2 близко к 30. Если бы стали делить 400000 на 30, то получили бы несколько больше, чем 10000. Значит, к полученному частному нужно добавить два нуля или лучше приписать множитель 10² (подчёркивая приближённый характер ответа и верность трёх знаков), что и сделано в нашем примере.

Обратим ещё внимание на случай, когда делимое - точное число, а делитель - приближённое. В этом случае к делимому можно приписывать сколько угодно нулей, так как мы уверены, что единиц низших разрядов оно не содержит. Приписываем к нему столько нулей, чтобы можно было начать деление; в дальнейшем поступаем, как в уже разобранных примерах. Разделим, например, 1 на 0, 0835.  Сначала отбрасываем запятую и делим 1 на 835. К единице приписываем 3 нуля, чтобы можно было начать деление:

 

		4
-	1000	835
	835	11,(10)
-	165	12,0
	84
-	81
	80
	1

 

Чтобы поставить запятую, рассуждаем так: 1 делим на 0,0835, т.е. дочти на 0,1. Разделить на 0,1 - это всё равно, что умножить на 10. Следовательно, ответ должен быть близок к 10; поэтому запятую нужно поставить после второй цифры слева, что мы и сделали. Нуль после запятой не отбрасываем, так как показывает нашу уверенность в отсутствии десятых долей.

Примеры: 81,2:4,39; 12,84:62,3; 28,2:616; 26:7,3; 863:541; 6,23:72,8; 34,18:27,000...(делитель точно равен 27); 642∙10³:581∙10²; 36,3:267; 262∙10²:170∙10⁴; 1:285; 2:463,3; 3:0,08485 (в последних трёх примерах считать, что делимое - точное число).