Умножение многозначных чисел

Принятое у нас правило умножения многозначных чисел не всегда является самым лучшим. Главное его достоинство то, что оно действует безотказно, годится во всех без исключения случаях. Но часто можно упростить вычисления, сократить затрачиваемое на них время, если хорошо расположить действие. Запоминать все эти случаи нет надобности. Достаточно помнить два или три самых распространённых. Познакомиться с ними всё же полезно.

Сделаем сначала одно общее замечание. Располагая действие, как обычно принято, пишем снизу не тот сомножитель, в котором меньше цифр, а тот, в котором сами цифры маленькие, или есть одинаковые цифры. Легче, например, выполнить умножение так:

 

∗	89
	232
	178
	267
	178
	20648

 

чем так:

 

∗	232
	89
	2088
	1856
	20648

 

 

И в первом и во втором случае приходится сделать по два умножения: в первом на 2 и на 3, во втором - на 8 и 9; но умножить на 2 и на 3 легче, чем на 8 и 9. Разумеется, если разница в числе цифр сомножителей велика, например, в одном две, а в другом шесть цифр, то при любых цифрах выгоднее меньший подписывать внизу, так как это сильно уменьшит число сложений.

Теперь перейдём к отдельным случаям. Часто множитель разбивают в уме на такие слагаемые, каждое из которых вдвое, втрое или вчетверо больше другого. Умножим, например, 564 на 175. Имеем: 175=100+50+25. Помножим 564 на 100; произведение разделим пополам; то, что получится, ещё раз пополам, и все три результата сложим. Вся запись выглядит так:

564∗175 (175=100+50+25)

+	56400
	28200
	14100
	98700

 

Упрощается умножение и в том случае, если цифры множителя больше одна другой в два или три раза, если, например, множителем является число 248 или 312, или 214, или какое-либо иное в этом роде. Умножаем, например, 5387 на 214. Пишем как обычно:

 

∗	5387
	214

 

Но умножать начнём не с крайней правой цифры множителя, а с его самой маленькой цифры, в нашем примере - с единицы. Так как эта единица представляет собой не простую единицу, а десяток, то пишем результат, сдвинув его на один разряд влево:

 

∗	5387
	214
	5387.

 

Под единицами ставим точку (или нуль), чтобы не сбиться; далее наше число умножаем на две сотни, и результат подписываем, сдвинув его на два разряда влево:

 

∗	5387
	214
+	5387.
	10774.

 

Остаётся умножить наше число (5387) на четыре. Но мы его только что удвоили. Значит, можно результат удвоения ещё раз удвоить, подписав единицы того, что получится, под единицами множимого (умножаем на простые единицы). Вся запись выглядит так;

 

∗	5387
	214
+	5387.
	10774..
	21548
	1152818

 

 

Вот ещё примеры:

 

1)	∗	797	(сначала умножаем на 3; результат умножения на 3 умножаем на 2, чтобы получить произведение на 6; результат умножения на 3 умножаем теперь на 3, чтобы получить произведение на 9).
		396
	+	2391..
		4782
		7173.
		315612

 

2)	∗	549	Здесь все умножения сводятся к простым удвоениям.
		482
	+	1098
		2196..
		4392.
		264618

 

Очень сильно упрощается действие в том случае, если один из сомножителей близок к числу, изображаемому единицей с нулями. Умножаем, например, 1835 на 987. Умножать на 987 громоздко: большие цифры, надо много держать в уме. Обратим теперь внимание на то, что 987 близко к 1000, именно 987=1000-13. Умножим 1835 на 1000 (результат пишем сразу), потом умножим 1835 на 13 и из первого вычтем второе.

Всё действие располагаем так:

1835987 (987=1000-13)

∗	1835	∗1000=	1835000
	13		-23855
	5505		1811145
	1835
	23855

 

Вот ещё пример:

6893∗89 (89=100-11)

+	6893	∗100=	689300
	6893		-75823
	75823		613477

 

При перемножении трёхзначных чисел многие пользуются правилом, похожим на «умножение крестиком» двузначных чисел; только в случае трёхзначных чисел приходится писать: вычисления слишком громоздки, чтобы держать их в уме.

Умножим, например, 658 на 384.

Подписываем множитель под множимым и умножаем сразу сотни на сотни (получаются сотни тысяч и десятки тысяч), десятки на десятки (получатся тысячи и сотни), единицы на единицы (получатся десятки и единицы):

 

6	5	8
3	8	4
18	40	32

 

Мы не учли произведения различных разрядов друг на друга. Десятки на сотни дают тысячи: шестью восемь - 48, да трижды пять -15, - всего 63 тысячи. Простые единицы дадут при умножении на сотни - сотни. Четырежды шесть - 24 сотни, да трижды восемь - 24 сотни, всего 48 сотен. Остаётся перемножить десятки на простые единицы: получатся десятки; четырежды пять - двадцать, да восемью восемь - шестьдесят четыре, всего 84 десятка. Получив каждый из этих результатов, подписываем их под первым результатом, каждый на своём месте, и всё складываем. Запись выглядит так:

 

∗	658
	384
+	184032
	63...	(тысячи)
	48..	(сотни)
	84.	(десятки)
	252672

 

При самом небольшом навыке такое умножение выполняется значительно быстрее обычного.

Вот ещё примеры:

 

1)	∗	519	2)	∗	293	3)	∗	926
		293			785			197
	+	100927		+	147215		+	91842
		47...			79...			83...
		33..			31..			69..
		84.			69.			68.
		152067			230005			185422

 

Обращаем внимание на первый пример. Умножая десятки на десятки, мы получаем всего девять сотен, а тысяч не получаем вовсе. На соответствующем месте пишем 09, а не просто 9.

 

Примеры: 563∗824; 568∗835; 2937∗96; 1819∗319; 8863∗175; 16981∗15; 682∗395; 11212∗865; 239∗1284; 155∗927; 458∗721; 5002∗629; 293∗989.

 

Деление многозначных чисел

При делении полезно обратить внимание на два случая: 1) делимое раскладывается на слагаемые, каждое из которых легко делится на делитель, и 2) делитель разлагается на множители. Рассмотрим эти случаи.

Разделим 385 на 35. Имеем 385=350+35. Значит, 385:35=(350+35):35. Триста пятьдесят при делении на 35 даст 10, а тридцать пять при делении само на себя даёт единицу. Всего получаем 11. Значит, 385:35=11.

Ещё пример: разделим 2837 на 14. Имеем 2837=2800+28+9. Делим каждое из слагаемых на 14; получаем 200, 2 и . Все полученные числа складываем: получим 202 . Записывается действие так:

2837:14=(2800+28+9):14=200+2+ =202 .

Если делим число, близкое к «круглому», легко делящемуся на делитель, то записываем делимое в виде разности двух чисел: «круглого числа» и дополнения. Дальше поступаем, как в предыдущем случае, только результаты не складываем, а вычитаем. Разделим, например, 3104 на 32. Имеем 3104=3200-96. Делим 3200 на 32, получаем 100; делим 96 на 32, получаем 3. Вычитая 3 из 100, получим окончательный ответ: 97.

Записываем всё это так:

3104:32=(3200-96):32=100-3=97.

Перейдём ко второму случаю. Разделим 4698 на 54. Делитель легко представить как произведение однозначных чисел: 54=6х9. Делить на однозначные числа легко. Поэтому делим наше число на 6, а потом то, что получится, разделим на 9. Располагаем действие так:

4698:54=?

4698:6=783; 783:9=87.

Получается значительно проще, чем по обычному правилу деления.

Этим мы ограничимся. В остальных случаях вернее и удобнее применять обычное правило деления.

 

Примеры: 3468:17; 1776:48; 8557:43; 15195:15; 2048:32; 3969:63; 2296:56; 16665:15; 10240:64; 10149:51.