Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности

Статистика изучает количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественным содержанием. Она служит основой для принятия соответствующих управленческих решений.

Математическая статистика занимается обработкой результатов экспериментов. Она тесно связана с теорией вероятностей.

К основным задачам статистики относятся:

§ организация сбора и группировки статистических экспериментальных данных;

§ оценка неизвестных вероятности события и функции распределения, параметров распределения;

§ оценка зависимости между случайными величинами;

§ проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для получения статистических данных из всех изучаемых объектов (образующих генеральную или статистическую совокупность) отбирается для наблюдения выборочная совокупность (выборка). Количество объектов в ней – объём выборки (n). Полученные в ходе измерений значения изучаемой величины называются вариантами (x_i). Число вариант, имеющих одинаковое значение x_i, – (абсолютная) частота данного значения (m_i). Величина  называется относительной частотой (иногда её называют частостью).

Для предварительной обработки результатов наблюдения создают вариационный ряд (ряд распределения), для чего варианты выстраивают в порядке возрастания вместе с их абсолютными частотами (иногда и относительными частотами). Различают дискретный и интервальный вариационные ряды. В дискретном ряду перечисляются все значения вариант; в интервальном ряду данные группируются в интервалы (как правило, равномерные); интервальный ряд создают обычно, если объём выборки велик, а исследуемая величина является непрерывной. Количество интервалов рекомендуется находить по формуле Стерджесса:

k = 1 + log₂ n = 1 + 3,322 × lg n.                       (1)

При этом результат округляется в большую сторону.

Просматривая результаты наблюдений, определяют, сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие – верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .     

Во вторую строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Этот метод состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал, отмечается точкой, а также и черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт.

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Иногда интервальный статистический ряд, для простоты исследований, условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение -го интервала принимают за вариант , а соответствующую интервальную частоту  - за частоту этого варианта.

Графическое представление дискретного ряда называется полигоном (многоугольником) абсолютных или относительных частот, интервального ряда – гистограммой. Аналитически вариационный ряд описывается эмпирической функцией распределения:

.

Иногда вместо графика эмпирической функции распределения строят непрерывную ломаную линию – кумуляту или кумулятивную кривую.

Пусть  - выборка объема  из генеральной совокупности и  наблюдаемые значения .

Определение. Математическим ожиданием называется величина

,          

где n – объём выборки, k – число различающихся вариант. Данная оценка является состоятельной, несмещённой и наиболее эффективной (последнее – для нормально распределённой случайной величины).

Определение. Выборочной дисперсией называется величина

.

Определение.  Выборочным средним квадратическим отклонением называется величина:

.

Определение. Выборочной модой М_о называют варианту, имеющую наибольшую частоту.

Определение. Выборочной медианой М_е называют варианту, которая делит вариационный ряд на две равные по числу вариант части.

Кроме рассмотренных выше основных статистических оценок применяют и некоторые другие. Например, характеристиками вариации (рассеяния) исследуемой величины кроме дисперсии и среднего квадратического отклонения являются:

 - размах варьирования – разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант R = x_max – x_min;                                                                           

 - среднее абсолютное (линейное) отклонение

;

 - коэффициент вариации .                                             

- линейный коэффициент вариации ;                              

- коэффициент осцилляции .                                           

Пример 1.   Дана выборка значений случайной величины  объема 20:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12, 18, 17, 15, 13, 17, 14, 14, 13, 14, 16.

Требуется: - построить дискретный вариационный ряд;

                              - найти размах варьирования , моду , медиану ;

              - построить полигон частостей. 

Решение. 1)Ранжируем выборку: 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19.

  2) Находим частоты вариантов и строим дискретный вариационный ряд (таблица 3)                                                                               

Таблица 3

Значения вариант	12	13	14	15	16	17	18	19
Частоты	2	3	5	2	2	3	2	1
Частости

3) По результатам таблицы 3 находим:

, ,

       4)Строим полигон частостей.

Пример 2. Результаты измерений отклонений от нормы диаметров 50 подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в таблице ниже.

Таблица 4

-1,760	-0,291	-0,110	-0,450	0,512
-0,158	1,701	0,634	0,720	0,490
1,531	-0,433	1,409	1,740	-0,266
-0,058	0,248	-0,095	-1,488	-0,361
0,415	-1,382	0,129	-0,361	-0,087
-0,329	0,086	0,130	-0,244	-0,882
0,318	-1,087	0,899	1,028	-1,304
0,349	-0,293	0,105	-0,056	0,757
-0,059	-0,539	-0,078	0,229	0,194
0,123	0,318	0,367	-0,992	0,529

 

Для данной выборки: - построить интервальный вариационный ряд;

                           - построить гистограмму и полигон частостей.

Решение. Строим интервальный ряд. По данным таблицы 4 определяем:  ;

Для определения длины интервала  используем формулу Стерджесса:

.

Число интервалов .

Примем =0,6, . За начало первого интервала примем величину

Конец последнего интервала должен удовлетворять условию:

.

Действительно,  ; .

Строим интервальный ряд (таблица 5).                                                                                                

 Таблица 5

Интервалы
Подсчет частот
Частоты	2	6	11	15
Частости

                           

                           Продолжение таблицы 5

Интервалы
Подсчет частот
Частоты	11	3	2	;
Частости				.

Строим гистограмму частостей.

                                             Рис.3

Вершинами полигона являются середины верхних оснований прямоугольников гистограммы. Убедимся, что площадь гистограммы равна 1.

.

Задания 61-70

1) По выборке объёма n = 100 составьте интервальный ряд распределения. (Для определения количества интервалов воспользуйтесь формулой Стерджесса, ширину интервала округлите до 1 с (в большую сторону), левую границу первого интервала округлите до 10 с (в меньшую сторону).

2)  Постройте гистограмму относительных частот и кумулятивную кривую.

3) Найдите среднее значение, выборочные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

61. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в секундах):

306; 250; 242; 242; 274; 266; 242; 250; 226; 266; 266; 242; 266; 242; 266; 274; 250; 250; 250; 234; 250; 250; 298; 226; 258; 266; 250; 266; 234; 234; 266; 258; 250; 250; 226; 242; 258; 226; 274; 234; 234; 266; 242; 258; 258; 282; 274; 226; 282; 258; 250; 250; 234; 242; 234; 266; 242; 226; 234; 234; 250; 242; 266; 258; 242; 258; 210; 258; 266; 226; 226; 250; 234; 250; 242; 242; 258; 266; 242; 218; 266; 250; 266; 242; 258; 250; 242; 234; 266; 282; 290; 250; 234; 274; 234; 258; 242; 250; 234; 234; 242; 274; 250; 242; 226; 274; 250; 274; 234; 258.

62. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в см):

7,1; 9,2; 14,1; 10,8; 12,9; 9,8; 9,6; 8,4; 10,8; 8,2; 8,6; 12,1; 7,6; 12,9; 9,3; 11,5; 12,4; 14,1; 14,3; 11,9; 16,3; 9,6; 12,0; 7,6; 13,3; 12,2; 12,0; 8,0; 12,3; 12,9; 11,8; 11,5; 9,6; 12,8; 12,6; 11,4; 13,4; 10,5; 18,0; 13,1; 11,9; 10,0; 9,6; 11,4; 8,0; 12,0; 11,9; 7,9; 12,0; 10,6; 13,8; 11,3; 12,0; 8,7; 12,0; 12,3; 12,2; 10,3; 6,5; 9,1; 9,8; 10,8; 6,9; 10,9; 11,5; 9,7; 11,9; 9,6; 11,4; 11,5; 6,6; 10,7; 10,9; 10,8; 13,1; 12,6; 11,3; 7,8; 10,6; 10,3; 12,9; 11,6; 11,1; 12,4; 6,7; 11,4; 12,8; 11,6; 8,0; 9,9; 12,1; 14,1; 10,8; 8,9; 13,9; 12,0; 10,6; 10,4; 11,1; 13,7.

63. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в ньютонах):

34,1; 33,8; 31,9; 36,2; 36,5; 33,5; 31,6; 36,1; 34,7; 35,6; 33,7; 34,7; 36,4; 37,4; 36,2; 34,5; 36,6; 36,5; 36,8; 36,1; 34,4; 34,1; 36,9; 34,4; 35,3; 32,9; 34,0; 33,5; 34,7; 33,7; 35,5; 36,4; 34,9; 34,8; 34,8; 34,1; 38,8; 33,8; 36,2; 36,1; 38,3; 37,7; 35,8; 35,6; 34,3; 37,7; 33,2; 33,5; 34,4; 36,8; 35,9; 32,1; 36,2; 35,4; 32,5; 35,5; 35,7; 36,4; 34,0; 34,6; 32,3; 35,1; 36,6; 36,7; 32,1; 34,5; 33,6; 36,9; 33,7; 37,6; 33,0; 33,5; 32,0; 37,0; 39,0; 34,3; 34,6; 34,6; 34,9; 32,1; 33,4; 32,6; 38,6; 36,2; 34,5; 33,0; 37,1; 34,8; 34,2; 34,0; 32,6; 31,6; 36,6; 30,5; 37,2; 37,4; 37,1; 35,7; 38,2; 33,3.

64. Для статистического анализа были получены следующие результаты(в см):

79; 93; 77; 79; 77; 80; 84; 84; 95; 84; 85; 61; 75; 70; 76; 86; 87; 69; 60; 71; 71; 88; 69; 77; 91; 72; 102; 80; 82; 68; 83; 81; 67; 85; 103; 67; 70; 97; 81; 86; 86; 70; 77; 86; 84; 86; 99; 74; 70; 88; 88; 45; 72; 86; 73; 73; 104; 76; 70; 83; 75; 70; 102; 83; 86; 88; 82; 77; 92; 89; 87; 88; 75; 78; 66; 81; 87; 71; 75; 110; 65; 78; 79; 55; 78; 87; 92; 91; 71; 56; 77; 86; 86; 85; 75; 81; 91; 86; 93; 83.

65. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в дециньютонах):

514; 533; 483; 510; 558; 524; 488; 395; 511; 488; 424; 509; 509; 481; 536; 495; 530; 515; 502; 442; 508; 544; 524; 508; 435; 474; 467; 489; 495; 521; 524; 483; 511; 508; 537; 486; 567; 515; 467; 536; 513; 465; 467; 534; 468; 507; 516; 449; 481; 482; 539; 471; 541; 521; 503; 455; 458; 526; 540; 454; 497; 446; 512; 536; 523; 479; 469; 490; 451; 566; 524; 523; 469; 507; 548; 543; 479; 448; 518; 515; 507; 561; 508; 493; 512; 508; 443; 513; 489; 509; 496; 452; 496; 493; 449; 508; 545; 447; 549; 463.

66. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в %):

4,02; 3,34; 3,64; 4,17; 5,00; 4,48; 3,96; 5,00; 3,77; 3,55; 2,99; 3,86; 3,87; 4,55; 5,00; 2,95; 3,52; 4,11; 4,68; 4,46; 3,62; 3,50; 3,80; 3,86; 3,90; 3,52; 4,01; 3,34; 4,65; 4,01; 3,38; 4,29; 3,92; 3,50; 3,26; 3,76; 4,06; 4,14; 4,38; 3,98; 4,11; 3,83; 4,19; 3,67; 4,20; 4,22; 4,29; 3,58; 3,96; 4,46; 4,94; 3,88; 3,58; 4,33; 3,32; 5,13; 3,53; 4,20; 3,54; 4,34; 3,71; 3,85; 3,55; 3,06; 4,59; 3,76; 4,43; 3,72; 4,76; 3,86; 3,75; 4,72; 4,14; 4,31; 3,85; 4,05; 4,09; 3,64; 3,75; 4,66; 3,92; 4,78; 3,52; 4,41; 5,30; 3,39; 3,72; 4,44; 3,38; 3,75; 3,95; 4,13; 4,20; 4,94; 3,61; 3,93; 4,78; 4,86; 4,89; 4,23; 3,79; 3,44; 3,80; 4,08; 3,90; 3,91; 4,13; 4,18; 4,22; 3,39; 4,33. 

67. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в %):

0,72; 0,38; 0,52; 0,63; 0,43; 0,52; 0,55; 0,47; 0,53; 0,53; 0,48; 0,52; 0,36; 0,50; 0,76; 0,28; 0,40; 0,63; 0,37; 0,52; 0,51; 0,46; 0,59; 0,45; 0,28; 0,31; 0,40; 0,53; 0,38; 0,54; 0,41; 0,53; 0,61; 0,52; 0,41; 0,39; 0,50; 0,48; 0,44; 0,58; 0,62; 0,37; 0,42; 0,54; 0,50; 0,59; 0,38; 0,43; 0,58; 0,52; 0,43; 0,43; 0,23; 0,66; 0,47; 0,40; 0,34; 0,54; 0,45; 0,58; 0,43; 0,66; 0,37; 0,63; 0,58; 0,52; 0,39; 0,49; 0,50; 0,34; 0,42; 0,53; 0,56; 0,58; 0,46; 0,57; 0,55; 0,58; 0,64; 0,55; 0,57; 0,52; 0,66; 0,38; 0,45; 0,56; 0,67; 0,63; 0,35; 0,44; 0,49; 0,41; 0,47; 0,62; 0,54; 0,45; 0,70; 0,59; 0,89; 0,56; 0,37; 0,41; 0,25; 0,42

68. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в %):

7,551; 7,285; 7,222; 7,512; 7,487; 7,456; 7,276; 7,146; 7,383; 7,211; 7,498; 7,320; 7,550; 7,489; 7,219; 7,530; 7,289; 7,387; 7,278; 7,525; 7,457; 7,694; 7,563; 7,534; 7,561; 7,333; 7,062; 7,400; 7,432; 7,249; 7,329; 7,404; 7,455; 7,291; 7,515; 7,366; 7,562; 7,512; 7,527; 7,294; 7,613; 7,470; 7,527; 7,415; 7,347; 7,427; 7,538; 7,376; 7,301; 7,402; 7,272; 7,525; 7,436; 7,314; 7,513; 7,474; 7,291; 7,424; 7,265; 7,460; 7,318; 7,424; 7,541; 7,485; 7,573; 7,315; 7,357; 7,193; 7,280; 7,328; 7,447; 7,704; 7,559; 7,450; 7,439; 7,588; 7,372; 7,562; 7,609; 7,537; 7,347; 7,679; 7,489; 7,554; 7,393; 7,438; 7,411; 7,380; 7,441; 7,584; 7,405; 7,518; 7,302; 7,674; 7,142; 7,680; 7,481; 7,521; 7,530; 7,366; 7,364; 7,427; 7,433; 7,453; 7,291; 7,276; 7,394; 7,380; 7,432; 7,355.

69. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в г):

29,7; 23,4; 26,9; 40,8; 26,8; 21,6; 26,1; 22,0; 41,3; 29,2; 26,2; 18,3; 33,5; 30,8; 23,4; 36,0; 37,8; 18,7; 34,6; 35,4; 20,6; 29,0; 35,8; 19,0; 30,9; 21,4; 14,4; 28,5; 40,7; 35,8; 20,9; 38,1; 29,0; 32,6; 22,6; 39,6; 22,3; 34,3; 48,9; 33,7; 30,1; 41,2; 31,9; 32,6; 26,9; 29,5; 24,0; 17,6; 38,6; 19,5; 42,5; 32,4; 20,0; 39,9; 31,1; 34,3; 22,8; 50,1; 30,5; 25,8; 30,6; 37,0; 29,8; 41,1; 25,9; 34,0; 27,1; 36,4; 32,0; 26,9; 30,3; 22,4; 16,6; 16,2; 47,8; 44,4; 20,5; 39,2; 16,4; 23,9; 20,6; 35,0; 36,1; 39,0; 29,2; 19,1; 36,1; 43,1; 38,0; 17,7; 22,5; 19,4; 40,9; 21,2; 27,4; 25,7; 26,6; 30,1; 28,4; 34,3; 32,3; 19,9; 25,0; 24,3; 25,1; 29,3; 27,3; 33,0; 24,1; 25,2; 29,4; 29,8; 20,5; 29,4; 36,7; 15,8; 30,2; 38,6; 33,3; 28,7; 40,2; 28,5; 24,2; 33,3; 26,5; 33,9; 19,2; 35,2; 27,9; 10.

70. Для статистического анализа были получены следующие результаты (в %):

36,97; 37,99; 38,17; 38,18; 38,03; 38,60; 38,17; 38,93; 37,21; 37,46; 38,11; 36,94; 37,75; 38,89; 37,76; 39,64; 39,57; 38,95; 37,19; 38,46; 36,35; 37,33; 37,78; 37,89; 37,69; 38,58; 38,58; 38,55; 38,34; 37,56; 36,65; 38,14; 38,41; 38,20; 37,22; 38,87; 37,43; 38,02; 37,02; 37,90; 37,58; 36,58; 37,20; 37,83; 39,56; 37,82; 37,98; 38,26; 39,10; 39,27; 37,15; 38,25; 37,91; 37,60; 39,07; 37,63; 37,09; 37,61; 38,16; 37,42; 38,27; 38,69; 38,61; 38,87; 37,51; 37,59; 37,95; 38,09; 38,01; 38,99; 38,06; 38,61; 37,84; 37,25; 38,21; 38,00; 38,65; 37,33; 37,25; 38,56; 38,15; 38,08; 38,56; 38,26; 38,60; 38,57; 39,19; 38,52; 39,09; 38,22; 38,36; 38,64; 37,09; 37,87; 37,45; 37,79; 37,88; 37,91; 38,78; 38,17; 37,96; 39,05; 38,34; 37,81; 39,08; 39,14; 37,31; 38,60.

Пример выполнения заданий 61-70

В лабораторной работе по физике «Определение вязкости жидкости методом Стокса», проводимой со студентами строительной академии, используется свинцовая дробь. Для изучения распределения массы дробинок (в миллиграммах) была образована следующая выборка:

17, 49, 79, 44, 82, 65, 109, 77, 107, 88, 62, 64, 79, 55, 44, 53, 140, 50, 67, 85, 64, 94, 41, 38, 62, 77, 154, 52, 56, 80, 49, 80, 79, 52, 65, 52, 127, 49, 73, 43, 95, 65, 83, 85, 111, 95, 112, 64, 94, 86, 34, 62, 101, 67, 59, 103, 67, 47, 65, 79, 64, 77, 32, 68, 145, 56, 172, 79, 67, 53, 35, 79, 70, 88, 137, 49, 125, 37, 65, 71, 35, 50, 37, 171, 139, 88, 137, 71, 77, 34, 62, 64, 79, 95, 124, 50, 127, 67, 67, 82, 14, 136, 76, 122, 82, 67, 111, 67, 70, 94, 73, 95, 94, 65, 80, 94, 160, 140, 95, 89, 65, 79, 80, 112, 35, 80, 109, 148, 127, 124, 68, 49, 70, 125, 88, 77, 119, 64, 148, 71.

По выборке объёма n = 140 составьте интервальный ряд распределения. Количество интервалов найдите по формуле Стерджесса, ширину интервала округлите до 10 мг (в большую сторону), левую границу первого интервала также округлите до 10 мг (в меньшую сторону). Постройте гистограмму относительных частот и кумулятивную кривую.

Решение. Из приведённых данных видно, что массы дробинок лежат в диапазоне от 14 до 172 мг. По формуле Стерджесса находим количество интервалов:

k = 1 + 3,322 × lg n = 1 + 3,322×lg140 = 1 + 3,322×2,146 = 8,129.

Округляем (в большую сторону): k = 9. Находим ширину интервалов:

.

В соответствии с условием задачи округляем это значение до 20 мг (с точностью до 10 мг в большую сторону). В качестве левой границы первого интервала выбираем значение 10 мг (округлив в меньшую сторону самое маленькое значение x_min = 14 мг).

Разбиваем диапазон данных на интервалы равной ширины. Находим абсолютные частоты для всех интервалов (подсчитываем, сколько значений массы дробинок попадает в каждый промежуток). Заносим данные в таблицу 1. Рассчитываем по формуле  значения относительных частот и по формуле  значения эмпирической функции распределения (накопленные частоты).      

Таблица 6

Интервал (мг) xi	10-30	30-50	50-70	70-90	90-110	110-130	130-150	150-170	170-190
Абсолютная частота mi	2	19	42	36	15	13	9	2	2
Относительная частота wi	0,0143	0,1357	0,3000	0,2571	0,1071	0,0929	0,0643	0,0143	0,0143
Эмпирическая функция распределения F *(x)	0,0143	0,1500	0,4500	0,7071	0,8143	0,9071	0,9714	0,9857	1,0000

Строим гистограмму относительных частот (рис. 1) и кумуляту (рис. 2).

После этого по формуле (2) вычисляем среднее выборочное массы дробинок:

(в качестве значения массы x_i взята середина соответствующего интервала).

Определяем выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение по приведенным в данном параграфе формулам:

.

Задания 71-80

С целью изучения статистического признака Х проведено исследование. Результаты представлены в таблице. Определить:

1) коэффициент вариации;

2) моду признака Х (аналитически и графически);

3) медиану признака Х (аналитически и графически).

71. Распределение рабочих цеха по возрасту.

Возраст (X), годы	17 - 20	20 - 30	30 - 40	40 - 50	50 - 59	всего
Количество рабочих	29	40	14	11	6	100

 

72. Распределение рабочих по стажу работы.

Стаж работы (X), годы	до 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	св. 30	всего
Кол - во рабочих	11	19	40	25	15	6	4	120

 

73. Распределение студентов по росту.

Рост (X) в (см)	до 164	164-168	168-172	172-176	176-180	180-184	св. 184	всего
кол-во	12	18	22	31	27	22	8	140

 

74. Распределение рабочих цеха по уровню зарплаты.

Зар. пл. (X), (у.е.)	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160	160-170	всего
Число рабочих	5	10	20	25	20	15	5	100

 

75. Распределение рабочих механического завода по общему стажу работы.

Общий стаж (лет)	до 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более	итого
Число рабочих	35	25	15	11	9	5	100

 

76. Распределение рабочих цеха по производительности труда.

Производительность труда (%)	до 100	100-102	102-104	104-106	106-108	св. 108	итого
Число рабочих	11	21	37	24	5	2	100

 

77. Распределение рабочих по уровню зарплаты.

Зарплата (у.е.)	до 100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200	св. 200	итого
Число рабочих	7	13	20	40	34	26	10	150

78. Распределение рабочих по выработке изделий за смену.

Кол-во изделий, (шт.)	до 60	60-70	70-80	80-90	90-100	итого
Число рабочих (чел.)	10	20	50	15	5	100

 

79. Распределение рабочих по возрасту.

Возраст, (годы)	18-20	20-30	30-40	40-50	50-60	св. 60	итого
Число рабочих, (чел)	3	18	42	25	7	5	100

 

80. Распределение рабочих по уровню зарплаты.

Зарплата, (у.е.)	до 150	150-160	160-170	170-180	180-190	190-200	св. 200	итого
Число рабочих	11	14	23	37	15	12	8	120

Пример выполнения заданий 71-80

Распределение рабочих предприятия по уровню зарплаты.

Зарплата (у.е.),	до 150	150-170	170-190	190-210	210-230	св.230	итого
Число рабочих (чел.),	11	14	25	40	17	13	120

Решение. Основной характеристикой вариационного ряда является среднее значение (среднее арифметическое взвешенное)  Среднее значение находится по формуле:

Для интервальных рядов в качестве значений вариант берутся середины интервалов. Найдем среднее значение для вышеуказанного ряда. В качестве  берется значение 140 у.е. (первый интервал считается 130-150),  равно 240 у.е.

Средняя зарплата на данном предприятии 192,83 у.е. Выборки, имеющие одинаковые средние могут значительно отличаться друг от друга по степени разброса (вариации). Для оценки вариации применяется дисперсия:

Вычислим дисперсию для приведенного распределения

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением.

В рассматриваемом примере

Для проверки однородности выборки применяется коэффициент вариации:

В тех случаях, когда  выборку можно считать однородной.

Для примера

Вышеприведенную выборку можно считать однородной.

Модой распределения называется наиболее часто встречающаяся варианта. Для интервального ряда мода находится по формуле:

где  начало модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту,  длина модального интервала,  частота предмодального интервала,  частота послемодального интервала.

В рассматриваемом примере модальный интервал

На рассматриваемом предприятии наиболее часто встречается зарплата 197,89 у.е.

Графически мода находится с помощью гистограммы. Модальным является наибольший прямоугольник.

 

 

 

Медианой называется варианта, делящая вариационный ряд пополам, т.е. количество вариант, меньших медианы и больших медианы, равны между собой. Для нахождения медианы необходимо понятие накопленной частоты.

Накопленной частотой  называется сумма вариант, меньших

Для указанного распределения напишем накопленные частоты.

	130-150	150-170	170-190	190-210	210-230	230-250
	11	14	25	40	17	13
	11	11+14=25	11+14+25=50	50+40=90	90+17 =107	107+13=120

Медианным называется интервал, в котором накопленная частота впервые принимает половину объема выборки  в примере медианный интервал  у.е. Формула вычисления медианы

где  начало медианного интервала,  длина медианного интервала,  частота медианного интервала,  накопленная частота предмодального интервала. В примере

 (у.е.)

Количество рабочих с зарплатой менее 195 у.е. и более равны между собой.

Графически медиана находится из графика: