Теорема сложения для совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пусть события A и B совместны, известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления.

Теорема (сложения совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Задани я 1 - 10. (в него входит шесть задач).

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2.  Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние.

Задание 1.1. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»;

2) хотя бы на одной монете появится «герб»;

3) ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»;

5) хотя бы на одной монете появится «герб»;

6) только на двух монетах появится «герб»;

7) только на одной монете появится «герб»;

8) ни на оной монете не появится «герб»;

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»;

10) хотя бы на одной монете появится «герб».

Задание 1.2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

1) ПРОГРАММА.

2) ПРОГРАММИСТ.

3) ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

4) СТАТИСТИК.

5) СТАТИСТИКА.

6) СОБЫТИЕ.

7) СЛУЧАЙНОСТЬ.

8) ВЕРОЯТНОСТЬ.

9) АЛГОРИТМ.

10) БЛОК-СХЕМА.

  Задание 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задание 1.4. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
   а) Р белых шаров;

   б) меньше, чем Р, белых шаров;

   в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в табл. 1.

Табл. 1.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К	6	6	6	7	4	8	6	4	5	7
Н	6	5	5	4	5	6	7	7	6	4
М	5	4	5	4	4	5	4	4	5	4
Р	3	2	3	2	2	3	4	2	3	2

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностью р ₁, р ₂, р ₃. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а). только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

, , , .

(Здесь V – номер Вашего варианта.)

Задание 1.6. В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй – M белых и N черных. Из первой урны вынимают случайным образом Р шаров, а из второй – Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а). все шары одного цвета;

б). только три белых шара;

в). хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, L, M, N, Р и  Q приведены в таблице 2 по вариантам.

Табл.2.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К	5	4	7	5	5	5	5	6	6	6
L	5	5	3	4	6	7	8	3	5	6
М	4	5	6	7	7	6	7	5	5	5
N	8	8	3	4	3	4	5	6	3	5
P	2	2	3	1	3	2	4	3	2	4
Q	2	3	1	4	2	2	1	3	2	1

Пример выполнения заданий 1-10

Задание 1.1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на 5.

Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием бросание трех игральных костей, результатом – одно из сочетаний очков на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А – сумма очков на трех верхних гранях делится на 5. Вероятность события А находится по формуле: .

Общее количество элементарных событий n можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней, и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем:

.

Количество элементарных событий m, входящих в состав события А, или благоприятствующих событию А, найдем, выписав все возможные результаты испытаний, и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на 5. Имеем:

113	163	253	343	433	523	613	663
122	212	262	352	442	532	622
131	221	311	361	451	541	631
136	226	316	366	456	546	636
145	235	325	415	465	555	645
154	244	334	424	514	564	654

 

В результате получим, что m= 43. Следовательно, искомая вероятность:

                                                

Задание 1.2. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана только одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, что буквы появятся в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова «МАТЕМАТИКА». Так как элементарные события являются перестановками из 10 букв, то   Некоторые буквы в слове «МАТЕМАТИКА» повторяются (М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза). Поэтому возможны перестановки, при которых слово не меняется. Их число равно: =24.

 

Таким образом, .

 

Задание 1.3. (решается аналогично задаче 1.2).

Задание 1.4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание 4 шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

.

а)  - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров – 2 белых и 2 черных (т.к. вынимают 4). Используя правило умножения, получаем:

,

б)  - среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂  - все вынутые шары – черные.

Следовательно, .

, .

; ; .

в)  - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂  - среди вынутых шаров 2 белый и 2 черных шара;

В ₃  - среди вынутых шаров 3 белых и 1 черный шар;

В ₄  - среди вынутых шаров 4 белых шара.

Прямое решение этой задачи приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычислить вероятность искомого.

 - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

;

Тогда

Ответ: ; ;

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751, 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а)  - за время Т выходит из строя только один элемент:

 - первый элемент выходит из строя;

 - второй элемент выходит из строя;

 - третий элемент выходит из строя;

 - первый элемент не выходит из строя;

 - второй элемент не выходит из строя;

 - третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий  и , получаем следующую формулу:

.

По условию,

 = 0,851, , 0,701.

Тогда

, ,

.

Следовательно, получаем:

=0,418.

б)  - за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Так как событие определяется словами «хотя бы один», используем противоположное событие:

 - за время Т все элементы работают безотказно.

.

Ответ: , .

Задание 1.6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли 3 шара наугад, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только 3 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

 Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а)  - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые, или все черные. Определим для каждой урны все возможные события:

 - из первой урны вынуты 3 белых шара;

 - из первой урны вынуты 2 белых шара и 1 черный шар;

 - из первой урны вынуты 1 белый шар и 2 черных шара;

 - из первой урны вынуты 3 черных шара;

 - из второй урны вынуты 2 белых шара;

 - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

 - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Таким образом,

.

Найдем количество элементарных событий  и  для первой и второй урн соответственно. Имеем:

, .

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

: , : ,

: , : ,

: , : ,

: .

Следовательно,

.

б)   - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае:

.

в)  - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара.

 Тогда: , .

Ответ: , , .