Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Случайная величина X называется непрерывной случайной величиной, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что при любом x выполнено соотношение      

,                                          (*)

где, как и раньше, F(x) = R (X < x) – функция распределения случайной величины X.

Функция f(x) называется плотностью распределения (или плотностью распределения вероятностей) случайной величины X.

Из (*) следует, что F(x) является непрерывной функцией. Напомним, что, кроме того, функция распределения является неубывающей функцией и имеют место ее следующие свойства:

1) 0 £ F (x) £ 1;  

2) F (- ¥) = 0; F (+ ¥) =1;

3)   R (a £ X < b) = F (b) - F (a).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1)

2) если производная  существует, и вероятность попасть на промежуток можно найти, интегрируя плотность распределения

3)

Математическое ожидание (среднее ) непрерывной случайной величины X определяется равенством    

.

Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством

или .

Среднее квадратичное отклонение Х  равенством: 

.

Задания 41 - 50. Случайная величина задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

41.          42.

43.       44.

45. 46.

47. 48.

49.           50.

Пример выполнения заданий 41-50

Случайная величина задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию  случайной величины.  

                                           

 

Решение. Найдем плотность распределения:

Используя определения математического ожидания и дисперсии для непрерывных случайных величин:

, ,

получаем:

Нормальное распределение

Говорят, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами  и , если плотность его распределения выражается формулой:

.

Математическое ожидание такой случайной величины равно , а дисперсия .

Для нормальной случайной величины вероятность  равна:

,

 

,

где  - интегральная функция Лапласа, обладающая свойством . Значения этой функции находятся по таблице (см. Приложение 2).

З адания 51-60

51. Плотность распределения случайной величины  имеет вид:

.

Найти: , , .

 

52. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью:

.

Найти: , , .

 

53. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

54. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

 

55. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

56. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

 

57. Случайная величина имеет плотность распределения:

.

Найти: , , .

58. Функция распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

59. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , .

60. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью:

.

Найти: , , .

Пример выполнения заданий 51-60

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

.

Найти: , , , .

 

Решение. Нормально распределенная случайная величина имеет плотность распределения:

 

                                          ,

где математическое ожидание , дисперсия .

В нашем примере ; .

Для нормальной случайной величины вероятность  равна:

.

.

;

.

В данном случае  - интегральная функция Лапласа, обладающая свойством . Значения этой функции находятся по таблице (см. Приложение 2).