Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Дискретной называют случайную величину X, принимающую конечное или счетное (можно перенумеровать) число значений: x ₁, x ₂, …. Значение  принимается с некоторой вероятностью . При этом

Законом распределения случайной величины X называется соответствие vt;le каждым значением  дискретной случайной величины X и ее вероятностью .

 Закон распределения обычно задается в виде таблицы, которая называется рядом распределения:

 

X	x1	x2	...
P	p1	p2	...

 

Функция распределения случайной величины  в дискретном случае является кусочно-постоянной и может быть найдена по формуле

.

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется число:

M(X)=

Если случайная величина принимает счетное число значений, то говорят, что математическое ожидание существует, если ряд  сходится, при расходимости ряда говорят, что математического ожидания не существует.

Дисперсией случайной величины X называютматематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле .

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратичное отклонение является одной из характеристик рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Биномиальное распределение. В задачах часто используется биномиальное распределение, то есть распределение случайной величины X – числа наступления события A в n независимых опытах, в каждом из которых событие A может произойти с одной и той же вероятностью p.

Случайная величина X принимает целочисленные значения m= 0, 1, …, n с вероятностями

.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам:

,  

где q=1- p.

Задания 31-40

31. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-8	-4	-2	0
	0,3		0,2	0,1

 

Вычислить: , .

32. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-5	0	1	5
		0,2	0,1	0,3

 

Вычислить: , .

33. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-5	-3	-1	0	1
		0,1	0,2	0,3	0,2

 

Вычислить: , .

34. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-4	-1	0	4	9
	0,3	0,1		0,1	0,3

 

 

Вычислить:   

, .

35. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	0	2	4	9
	0,3	0,2		0,2

 

Вычислить: , .

36. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	1	5	9	13	18
	0,1	0,36	0,35	0,14

 

Вычислить: , .

37. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	0	1	3	4
	0,3	0,2	0,1

 

Вычислить: , .

38. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-4	-1	0	4	9
	0,2	0,1		0,2	0,1

 

Вычислить: ,   

                 .

39. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	10	20	30	40	50
	0,2	0,3		0,1	0,05

 

Вычислить: , .

40. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-100	-25	0	25	100
	0,3	0,1		0,1	0,3

 

Вычислить: ,

Пример выполнения заданий 31-40

Случайная величина  имеет распределение:

	-30	-20	0	20	30
	0,2	0,3		0,1	0,2

Вычислить: , .

Решение.

Пусть закон распределения случайной величины представлен в виде

 

 

Т.к. закон распределения данной дискретной величины представляет полную группу событий, то сумма всех вероятностей равна 1.

.

Тогда искомая вероятность:

.

Математическое ожидание случайной величины находится по формуле:

;

в нашей задаче

.

Дисперсия случайной величины:

.

Чтобы найти , найдем закон распределения величины . Для этого возведем все значения, которые принимает , в квадрат.

	900	400	0	400	900
	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

Тогда .

Отсюда .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины:

;

тогда

.

Чтобы найти , найдем распределение величины :

	30	20	0	20	30
	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

Найдем :

.

Для нахождения  следует знать соотношения:

;

.

Тогда для нашего примера

Чтобы найти , следует рассмотреть те значения , которые попадают в заданный интервал. Это значения . Этим значениям соответствуют вероятности . События, состоящие в том, что  принимает данные значения, несовместны, следовательно, искомая вероятность  равна сумме вероятностей:

.