Интервальные оценки параметров распределения

Наряду с точечными оценками (которые определяются одним числом и были рассмотрены выше) в математической статистике используются и интервальные оценки параметров распределения (они определяются двумя числами – концами интервала).

Для математического ожидания нормально распределённой случайной величины доверительный интервал равен , полуширина интервала с доверительной вероятностью (надёжностью) g вычисляется по формуле

,                                           

где параметр t _g при известной дисперсии распределения или при большом объёме выборки находится из таблицы функции Лапласа (Приложение 2) по уравнению F (t _g) = 0,5 g, а при малой выборке и неизвестной дисперсии – из распределения Стьюдента, при этом число степеней свободы данного распределения f = n – 1, уровень значимости a = 1 – g.

Задания 9 1 – 10 0

На основании данных заданий 61-70 при доверительной вероятности g = 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней.

Пример выполнения заданий 9 1-10 0

Полуширина доверительного интервала для математического ожидания равна

,

где коэффициент t _g  взят из таблицы функции Лапласа из условия Ф (t _g) = 0,5 g = 0,5∙0,95 = 0,475. Тогда, с вероятностью g = 0, 95,  генеральное среднее массы дробинок лежит в интервале = (80,0 ± 5,4) мг или (74,6 <  < 85,4)   мг.

Задания 101 - 110

Из партии в  образцов бетона путем бесповторной выборки отобрано  образцов. Измерения прочности отобранных деталей дали выборочное среднее  МПа и выборочное среднее квадратическое отклонение  МПа. Некондиционными признано  образцов. С вероятностью  найти:

1.Доверительный интервал для генеральной средней .

2.Доверительный интервал для генеральной доли некондиционных изделий .

 

 

010 1
0102
0103
0104
0105
0106
0107
0108
0109
1110

Пример выполнения заданий 101-110

Из 1000 образцов бетона для контроля прочности бесповторным путем отобрали 200 образцов. Изучение выборочной совокупности дало величину выборочной средней МПа и выборочное среднее квадратическое отклонение МПа. Двадцать образцов признано некондиционными (не соответствующими стандартам качества).

Найти:

а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал для генеральной средней;

б) с вероятностью 0,954 долю некондиционных изделий в генеральной совокупности.

Решение.

а) По условию, , .

Доверительный интервал для генеральной средней имеет границы:

,

где  - предельная ошибка для бесповторной выборки

.

Параметр  определяется из равенства , или . По таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

В нашем примере .

(МПа).

Тогда доверительный интервал для нашего примера:

;

.

С вероятностью 0,95 (в строительстве применяют термин надежность) генеральная средняя прочности бетона находится от 49,752 МПа до 50,248 МПа, т.е. с надежностью 0,95 прочность образцов лежит в найденном интервале. На практике при вычислении доверительного интервала для прочности используется нижняя граница интервала, т.к. нас интересует большая прочность. Тогда прочность образцов будет больше, чем , с вероятностью .

В нашей задаче прочность будет больше, чем 49,752, с вероятностью 0,025.

б) .

    Выборочная доля некондиционных изделий .

Предельная ошибка для генеральной доли

С вероятностью 0,95 доля некондиционных изделий во всей партии составляет от 6,28% до 13,72%.