Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие  может наступить при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу. Пусть известны вероятности этих событий , и условные вероятности , . Требуется найти вероятность события .

Теорема. событий , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле (формуле полной вероятности):

.Вероятность события , которое может наступить при условии появления одного из несовместных

Допустим, что уже произведено испытание, в результате которого наступило событие . В связи с этим изменилась вероятность каждой гипотезы. Тогда вероятности гипотез могут быть пересчитаны по формуле Байеса:

, .

Задания 11-20. Решите следующие задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

11. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,8 и понижается с вероятностью 0,2. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении — с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс доллара понизится.

12. В страховой компании 500 начинающих и 2000 опытных водителей. В среднем 10 % начинающих и 2 % опытных водителей в течение года попадают в аварию. Найти вероятность того, что

а) водитель попал в аварию;

б) это был опытный водитель.

13. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что

  а)случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит;

б) случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит в период экономического роста.

14. Курортная гостиница будет заполнена в июле с вероятностью 0.92,

если будет солнечная погода, или с вероятностью 0.72, если будет дождливая погода. По оценкам синоптиков в данной местности в июле бывает 75% солнечных дней. Какова вероятность того, что

а) работа гостиницы будет рентабельной;

б) работа гостиницы будет рентабельной, если погода будет дождливой.

15. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,67, а при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит на рынок аналогичный товар в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что

а) новый товар будет иметь успех;

б) новый товар будет иметь успех при наличии на рынке конкурирующего товара.

16. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию

 в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Чему равна вероятность того, что

а) экономика страны на подъеме;

б) экономика страны на подъеме при росте индекса экономического состояния.

17. Три организации представили в контрольное управление счета для         выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

18. Инвестор приобрел акции трех компаний, причем его инвестиционный пакет состоит из 20 акций первой компании, 42 акций второй и 18 акций третьей. Вероятность того, что акции первой компании принесут прибыль, равна 0,5, второй -0,3, третьей- 0,7. Найти вероятность того, что

а) инвестор получит прибыль;

б) инвестор получит прибыль, если прогнозирует рост цен акций первой компании.

19. Курс гривны понижается в течение недели с вероятностью 0,6 и повышается с вероятностью 0,4. При повышении курса гривны фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,45; при понижении — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс гривны понизится.

20. Количество акций, представленных тремя различными предприятиями на финансовый рынок, относятся как 5:3:2. Вероятности того, что акции будут котироваться по 12 долл. за штуку для этих предприятий соответственно равны 0,3; 0,4; 0,7. Известно, что цена случайно выбранной акции составила 12 долл. Найти вероятность того, что эта акция представлена третьим предприятием.

 

Пример выполнения заданий 11-20

Фирма – экспортер промышленной продукции собирается заключить контракт с крупным концерном на его поставку. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность подписания контракта оценивается аналитиками фирмы в 0,55, в противном случае – в 0,35. По оценкам аналитиков вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,4. Чему равна вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера. И какова будет эта вероятность, если фирма – конкурент все таки выдвинет свои предложения. 

Решение.

Пусть А – событие «фирма – экспортер заключит контракт»; H₁ –

гипотеза «фирма-конкурент выдвинет свои предложения», H₂ – гипотеза «фирма-конкурент не выдвинет свои предложения». По условию,

условные вероятности по заключению контракта для фирмы-экспортера  По формуле полной вероятности вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера будет равна:

А вероятность того, что контракт будет заключен, если фирма – конкурент все -таки выдвинет свои предложения, найдем по формуле Байеса:

Формула Бернулли

Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Предположим, что производится  независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие . Пусть при каждом испытании вероятность наступления события  одинакова и равна . Тогда вероятность наступления противоположного события  Определим вероятность того, что событие  произойдет ровно  раз в  испытаниях. При этом заметим, что факты, наступит событие или нет, могут чередоваться случайно. Будем записывать возможные результаты испытаний в виде комбинации букв  и . Всякую комбинацию, куда  входит  раз, а  входит  раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которыми можно выбрать  чисел из . Следовательно, оно равно числу сочетаний из  элементов по . Вычислим вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие  происходит в  испытаниях и, соответственно, не происходит в остальных  испытаниях. Такая комбинация имеет вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (по теореме умножения вероятностей) равна

Так как в любой другой благоприятной комбинации  событие  происходит в  испытаниях и, соответственно, не происходит в остальных  испытаниях, то вероятность каждой такой комбинации равна . Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому, на основании теоремы сложения вероятностей:

Следовательно,

.

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Задания 21-30.

21. В банк поступило 6 заявлений от физических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого одинакова. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 3 кредита;

б) будет выдано не менее двух кредитов.

22. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 40%. Фирма в месяц заключает в среднем 7 заказов.

Найти вероятности следующих событий:

а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

б) будет сделано не менее четырех крупных заказов.

23. В банк поступило 10 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется

а) 5 фальшивых купюр,

б) менее 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?

 

24. Коммерческий банк имеет 6 отделений, каждое из которых заказывает независимо друг от друга крупную сумму денег на следующий рабочий день с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что заявок на крупную сумму будет:

а) две;

б) не менее четырех.

25. Вероятность обращения клиента в банк за возвращением депозита 0,4. Найти вероятность того, что из 7 вип-клиентов банка за возвращением депозита обратится:

а) один клиент;

б) все клиенты.

26. Провайдер обслуживает 10 абонентов сети INTERNET. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна 0.002. Найти вероятность того, что в течение часа

а) более 7 абонентов попытаются войти в сеть,

б) не менее 7 абонентов попытаются войти в сеть.

27. В банк поступило 8 заявлений от юридических лиц на получение кредита. Вероятность получить кредит для каждого одинакова и равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 2 кредита;

б) будет выдано не менее пяти кредитов.

 

28. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 72%. Фирма в месяц заключает в среднем 4 заказа. Найти вероятности следующих событий:

      а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

      б) будет сделано не менее двух крупных заказов.

29. Вероятность того, что кредит не вернут в банк, составляет 0,1. Найти вероятность того, что из 8 клиентов, получивших кредит, его не вернут:

а) один клиент;

б) все клиенты.

30. Фирма – импортер поставляет продукцию на 7 крупных предприятий города. Вероятность того, что этими предприятиями будет сделан заказ в отчетного периода, составляет 12%. Найти вероятность того, что в течение отчетного периода заказ будет сделан

а) более чем 6 предприятиями,

б) не будет сделан вообще.

Пример выполнения заданий 21-30

Вероятность обращения владельцев транспортных средств в страховую компанию за возмещением составляет 0,8. Найти вероятность того, что из10 автовладельцев 9 обратятся в страховую компанию.

Решение.

Используем формулу Бернулли, которая принадлежит к схеме независимых повторных испытаний.

Проводится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью . Обозначим  - вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз. Иногда говорят, что - вероятность того, что в n испытаниях было  успехов. Тогда

.

Количество испытаний в данной задаче n = 10. Вероятность того, что будет предъявлен иск в страховую компанию ;

Найдем вероятность, что будет предъявлено 9 исков из 10, т.е. число успехов равно 9.