Вычисли путь, который прошел гном

Ты скажешь, что есть один «кошмар», значительно худший и более «кош­марный», чем изучение языка или истории.

Конечно, речь идет о математике!

Я не знаю, должна ли программа по математике быть такой трудной. Но я знаю, что если уж так случилось, то надо как-то с этим справляться.

Поначалу мне казалось, что то, что я увидел однажды утром, не имеет ничего общего с математикой. А увидел я, как отплыла от пристани лодка с восьмеркой гребцов и рулевым.

Я присмотрелся к ним внимательно: гребцы на веслах были молодые, не­опытные, рулевым был мой знакомый тренер, и ветер четко доносил его слова: - Вацек, как ты держишь весло?! Левую руку ниже, ниже... Юрек, силь­нее тяни весло под водой, смело... Раз!... два!... три! Метек, слишком глубоко опускаешь! Весла, смой!

Лодка подошла к пристани, парни выскочили па причал. Глаза у них бы­ли веселыми, но сами они были очень усталыми. Один из них обратился к тре­неру:

— Скажите, когда мы поедем на соревнования?

— На соревнования?!— рассмеялся тренер.

— Ребята, ведь вы же еще не умеете как следует держать весла! Разве вы не понимаете, что я сейчас обращаю ваше внимание на самые главные, основные моменты? Потом мы войдем в ритм, дойдем до плавания в полсилы, в полную силу, научимся стартовать, научимся вести тактическую борьбу... Каждый элемент гребли нужно осваивать по очереди, постепенно, систе­матически. Без этого ничего не получится. И только потом...

А я, глядя на смущенные лица ребят, только в тот момент понял, что это имеет тесную связь с математикой!

Потому что:

 

 

— Ты не сможешь решить математическую задачу, не усвоишь новый раздел, не зная, не понимая, не помня того, что вы изучали раньше.

Посмотрите, как это выглядит.

Вам надо решить такую вот задачу: х² = 9, которая решается следующим образом:

1) х²—9=0;

2) х²-3²=0;

3) (х + 3) • (х-3)=0,

х = 3 или х= — 3

Правда, очень просто? А ведь в каждом пункте решения использованы определенные математические правила, без знания которых задачу решать невозможно. В пункте 1 это то, что к каждой части уравнения можно приба­вить (отнять) одно и то же число, в пункте 3, что а² — b ² =(а — b) • (а+ b). Ба, необходимо было и знание того, что √9 = 3².

А как изучить новую тему? Вот правило, которое необходимо усвоить. «Если а и в являются произвольными действительными числами, не равны­ми 0, k — произвольное целое число, то (а b) ^k = а ^k • b^k». Ты не усвоишь это правило, если раньше не усвоила, что такое действительные и целые числа. Но вы скажете, что каждый знает, что такое действительные числа, а тем бо­лее, целые. Ну, тогда прочитайте такое правило:

«δ-телом является каждый класс подсистем пространства х, который содержит это пространство и замкнут с точки зрения количества». Вы поня­ли что-нибудь из этого? Правильно, я тоже ничего не понял. А это — строка из учебника математики для высшей школы, и, чтобы понять ее, необходи­мы знания, которых вы еще не имеете. А студенты-математики, по крайней ме­ре те, кто не пропускает занятия, понимает и даже утверждает, что это прос­то и ясно.

Итак, без усвоения предыдущего материала нельзя сделать следующий шаг. Это печально, но это правда. Возможно, если ты «слаб» в математике, у тебя такое же выражение лица, как у тех парней, которым тренер объяснил, что нельзя выступать на соревнованиях, не освоив всех по очереди элементов гребли. Подумай между тем, как смешно бы выглядела на соревнованиях лодка, гребцы которой гребли бы один медленнее, другой быстрее, а рулевой не умел бы держать курс.

И поэтому к подготовке письменных работ по математике, физике, хи­мии — по всем, так называемым, точным наукам — необходимо подходить не­сколько иначе, чем к подготовке работ по польскому языку или истории.

Прежде всего, здесь необходимо хорошее знание всего ранее пройден­ного материала.

И если математика является для тебя «кошмаром», а ты хочешь, чтобы это, наконец, перестало тебя мучить, то... ну да, конечно, ты можешь еще не­которое время «ехать» на подсказках друзей и списывании. Но помни, что Ч: каждым месяцем тебе будет все труднее.

А между тем есть четыре простых правила, которые помогут тебе спра­виться с математикой.

1. Посвяти математике (только на определенное время) 15—20 дополни тельных минут ежедневно.

2. Во время этих дополнительных минут повторяй с начала весь пройден­ный материал. Не только твоего года обучения — вернись даже во II—III клас­сы, до того момента, когда все тебе будет ясно. Но не повторяй всех программ каждого класса, а раздели материал на тематические разделы. Например, всю математику раздели на алгебру и геометрию, а их в свою очередь — на отдельные разделы и только тогда прорабатывай материал каждого класса.

3. При повторении используй следующее правило: сначала повторяй тео­рию, потом тренируйся в решении задач, связанных с данным разделом. Толь­ко тогда, когда задачи не будут доставлять тебе трудностей, переходи к сле­дующему материалу.

4. Не стесняйся попросить учебник у кого-нибудь из младших классов. Если это возможно, попроси родителей купить учебники младших классов.

Если ты разделишь весь материал на тематические разделы, то, видимо, скоро заметишь, что часть материала ты знаешь весьма хорошо — с ним справляешься быстро. Часть знаешь хуже и... О, именно это тебя так мучи­ло, так мешало в решении задач.

Иногда, однако, случается, что, несмотря на честные усилия, ты не в со стоянии понять содержащийся в книгах материал. Вроде бы понимаешь, а задачи никак не получаются.

Может быть, вы попросите «подкованного» в математике товарища, может быть, старший брат или сестра помогут вам в учении, может, среди дальних родственников найдется тот, кто сможет вам помочь?

Если ни одной из таких возможностей нет, то остается последний выход - репетиторство. Я, однако, думаю, что это — крайний выход, который следует использовать только тогда, когда времени очень мало, а «провалы» в знаниях — огромные. Если вы возьметесь повторять раньше, то помощь репетитора не будет необходимостью. И не забывайте, что уроки у хорошего специалиста стоят очень дорого, а вашим родителям частенько тяжело и без этого.

И еще одно замечание из области репетиторства. Ни один репетитор ни­кого не научит всему материалу в течение месяца или двух. Ни один репети­тор не сдаст за вас экзаменов.

Кстати, не только школьных экзаменов. Так как-то удивительно получа­ется, что большинство слабых в математике заявляют примерно так: «Я боль­ше люблю гуманитарные науки. Математика в жизни мне не потребуется». К сожалению, времена, когда гуманитарий мог не знать математики, мину­ли, видимо, бесповоротно. Во-первых, в программе таких даже очень гуманитарных институтов, как социология или психология, содержатся очень ма­тематические предметы — статистика и логика. Во-вторых, мир, нравится нам это или нет, двигается в направлении «математизации» многих областей жиз­ни. Наконец, в-третьих, математическое мышление является хорошей трени­ровкой ясного, логического понимания, которое очень нужно всем.

Так что постарайся как-нибудь «разгрызть» эту математику.

Учение на каждый день

Повторение материала является важным, но также важно и ежеднев­ное учение.

Допустим, вы начинаете изучать какую-то совершенно новую тему. Учи­тель объясняет, пишет на доске колонки цифр. Ты слушаешь внимательно, и вдруг сосед по парте обращается к тебе, и вы начинаете обсуждать состав вашей любимой футбольной команды. Через некоторое время ты снова смот-

 

 

 

ришь на доску и с удивлением отмечаешь, что уже ничего не понимаешь. И до конца урока ты сидишь как на турецкой пытке. Успокаиваешь себя, что все это есть в книге, но в глубине души ты понимаешь, что учебник — это не то же самое, что слова учителя.

Первое замечание.

Всегда внимательно слушай объяснения учителя, касающиеся нового материала. Даже несколько секунд невнимания могут сделать невоз­можными понимание всего материала.

Второе замечание.

Спрашивай, если чего-то не понимаешь, спрашивай, если не все понимаешь точно, спрашивай, если тебе кажется, что ты чего-то не понимаешь. Если учитель не любит, когда его прерывают, спрашивай после урока. Спрашивай до тех пор, пока не станешь уверенным, что уже все понимаешь.

Вернувшись домой в тот же самый день, пока еще свежи в памяти слова учителя, просмотри записи, которые ты сделал на уроке, а также прочитай, что на эту тему написано в учебнике. Если там есть что-то новое: теоремы, правила, примеры, выучи их.

Новый материал всегда старайся увязать с уже известными тебе знания­ми. Если, например, ты начинаешь изучение объемных геометрических тел, то загляни в раздел геометрии фигур и посмотри, что объединяет эти разделы геометрии, как ты можешь использовать известные тебе све­дения.

Если ты выучишь какую-нибудь теорему или пример без понимания, то можешь быть абсолютно уверен, что все очень быстро забудешь.

Если же ты хочешь запомнить теоремы или примеры навсегда или, по крайней мере, надолго, то, во-первых, постарайся их понять, а во-вторых, сра­зу же после заучивания используй их на практике. Это означает, что ты дол­жен сделать, по крайней мере, несколько задач, для которых эти теоремы и правила необходимы.

Задачи в ваших учебниках подобраны так, чтобы использовать различ­ные способы применения правил. Посмотрите, как это выглядит:

1. Если 10% чего-то целого составляет 5 единиц, то сколько единиц со­ставляет все целое?

2. В коробке лежит 1200 спичек. Подсчитай, сколько составит 7% от их количества.

3. Петр зарабатывает в месяц 17500 злотых, из чего платит 21% нало­га. Подсчитай чистый доход Петра.

4. Из 4538 гномов у 124 седые бороды. Сколько процентов гномов имеют седые бороды?

Эти четыре простые задачи касаются действия с процентами. Решив их все, а каждая из них касается различных случаев использования знаний о подсчетах процентов, ты хорошо запомнишь примеры на подсчет процентов в разных вариантах.

Задачи выполняют также две другие важные функции. Во-первых, они являются проверкой усвоения материала — если ты умеешь решать все зада­чи из данного раздела, то, значит, ты достаточно освоил теорию! Во-вторых, чем больше задач ты решишь, тем больше у тебя шансов, что на классной работе или на экзамене тебе достанется похожая задача и, конечно же, ты моментально решишь ее.

Поговорим еще об использовании маленьких калькуляторов, которые иногда называют компьютерами.

Малые карманные калькуляторы выполняют несколько (иногда больше десяти) действий, экономя время человека. Однако плохо, если этот человек не умеет производить действия, которые за него выполняет машина. И что бу­дет делать этот человек, если на экзамене нельзя будет пользоваться калькуля­торами? Ну да, он будет очень долго производить каждое действие, каждый раз при этом ошибаясь. Из-за отсутствия опыта. Начинающие спортсмены-дзюдоисты в течение долгого времени специально учатся падать и перевора­чиваться. Так что если вы вообще хотите пользоваться калькулятором, то предлагаю такой способ: считаем «в голове», а проверяем на калькуляторе.

Метод решения задач

Постараюсь кратко рассказать вам о методе, позволяющем решать все или почти все задачи. Но это не магический рецепт по математике. Этот ме­тод — я это особенно подчеркиваю — поможет и облегчит решение задач толь­ко тем, кто знает теорию!

Если ты правда хочешь им воспользоваться, то тогда прочитай несколь­ко раз написанное ниже: сначала быстро, потом медленно и очень внима­тельно, а в третий раз (но только на следующий день!), подчеркивая то, что для тебя может особенно пригодиться.

Конечно, никто тебя не может заставить читать так! Поэтому я четко пишу: если ты хочешь, чтобы это принесло тебе пользу. В противном случае, видимо, нет смысла тратить время...

Два замечания перед описанием метода:

Первое замечание. Ты не должен использовать в каждом трудном случае (с легкими ведь справишься без труда) все элементы метода решения задач, которые я опишу. Выбери из этого метода то, что, как ты думаешь, в данном случае особенно поможет тебе. Может, однако, случиться, что ты что-то упустишь. Тогда используй описанный метод целиком. Если и в этом случае ты задачу не решишь... Ну что ж, я уже писал в начале главы, что тогда надо сделать

Второе замечание. Математические задачи для старших классов началь­ной и средней школы - это не что иное, как определение проблемы с точ­ными данными. И заранее тебя предупреждаю, чтобы не было ко мне пре­тензий, что нынешние учителя будут, видимо, обращать все большее внима­ние на то, чтобы ученики учились не только запоминая, но и могли самосто­ятельно размышлять. То есть именно решать проблемы. Дело трудное, но при­ятное. Конечно, после определенной тренировки! Помните, что решение за­дач, которые до сих пор вы не умели решать,— это творческая работа. Твор­ческая, потому что вы сами ищете пути решения. Это ничего, что такие зада­чи другие люди уже решали тысячи раз. Для вас это творчество. А отсюда уже только один шаг до решения тех задач и проблем, которых до сих пор еще никто не решал. Теперь внимание, перехожу к описанию, начинаем:

А. Задачи без содержания.

Вот пример:

— х² + (х — 2)-(х+2) = х— 7, вычисли х.

1. Прежде всего, задание «Вычисли х» следует заменить на вопрос, на­пример: «Сколько единиц составляет х?» или «Какова ценность х». Теперь, не задумываясь глубоко, ты можешь определить, что неизвестное в твоей за­даче - это х, а твоя задача состоит в определении его значения. Таким обра­зом, первым шагом является выявление неизвестного и детальное понимание задания (вопроса), содержащегося в задаче.

2. Потом выпиши все данные, то есть те элементы задачи, которые тебе известны. В нашем уравнении это цифры, а точнее, цифра 7.

3. Без труда заметишь, что тебе осталось умножение (х — 2) • (х+2), которое не относится ни к неизвестным, ни к известным. И именно в этот мо­мент ты должен задуматься, какие дополнительные данные будут тебе нуж­ны при решении задачи. В нашем случае это пример на умножение (х—2) • (х + 2). Итак, под заголовком «Дополнительные данные» выписываем (х— 2) • (х + 2) = х² — 4, потому что, как вы наверняка помните, (а — b) • (а + b) = а² – b² .

4. Теперь подумай, решал ли ты в прошлом похожие задачи. Посмотри в своей тетради, может, найдешь. Если да, то чем эта задача отличается от той, подобной? Найди это различие! В чем оно состоит? Поиск подобных за­дач может привести тебя к нахождению алгоритма решения всех взаим­но подобных задач. Алгоритм — это друг ученика - он является повторяю­щимся и не требующим творческого мышления методом решения определен­ного класса задач. Но, конечно же, нахождение соответствующего алгоритма требует работы мысли.

Для всех уравнений типа ах+ b = с сущест­вует алгоритм, указывающий, как изобразить это уравнение в виде

	с – b --------- а

x=             

                         

                            

или, иными словами, предписывающий оставить в левой части уравнения неизвестное, а в правой — известные. Правда, в нашем урав­нении выступает х², но попробуем использовать дополнительные данные: — х²+ х² —4= х —7.

Сейчас уже видно, что после упрощения уравнения исчезают х² и уравнение в соответствии с алгорит­мом можно переписать в виде — х =  —7 + 4, а дальше уже легко под­считать, что х=3. А что было бы, если бы уравнение имело вид х² + (х -2) • (х + 2)= х -7? Тогда

уравнение после упрощения приняло бы вид 2х² — х + 3 = 0 и для его решения следовало бы использовать алгоритм решения квадратных уравнений. Он значительно сложнее, чем предыдущий, однако он существует.

Так что поиск алгоритмов — это очень важное дело. Оно основано на от­несении задачи к классу задач, для которых известен алгоритм решения. Ал­горитм может касаться всего решения или его части. Может быть и так, как это имело место в приведенном примере, что в одной задаче используются два алгоритма. В более сложных задачах их может быть больше. Отметьте также, что во многих случаях алгоритм - это не что иное, как известный нам математический пример.

Поиск алгоритмов - это, наверное, самая трудная часть решения задач и примеров. Иногда бывает нужно сначала преобразовать уравнение, изменить его вид, чтобы стало ясно, что имеется известный метод решения таких уравнений. Это и называется творческим мышлением.

5. Последним этапом решения за чачи является проверка полученною результата. Во многих случаях в конце книги находятся ответы или решения задач. Но лучше не заглядывать в них, пока не решишь задачи

В случае решения уравнений результат можно проверить самому—до­статочно подставить значение неизвестного в основную запись уравнения и посмотреть, действительно ли равны обе его части. В нашем случае:

(-3) ² +(3- 2) • (3 + 2) = 3-7

-9 + 5= - 4

- 4= - 4

А что же делать, если результат задачи оказался неправильным или когда решение не позволяет определить однозначный результат? Посмотрите, как решила это Ева: х² = 9, х = 3, так как 3 ² = 9

Ответ неполный, потому что и (— 3) ² = 9 Ева должна использовать здесь алгоритм решения таких уравнений, которые преобразуются в вид х² — 9 = 0; (х — 3) • (х + 3)=0, т е. х= — 3 или х = 3.

Каждое, даже самое простое действие необходимо проверять сразу после его выполнения. В противном случае нередко случается так, что вы отбрасы­ваете хороший метод решения и ищете другой, а поводом к этому является факт, что 2 + 2 у вас по ошибке получилось равным 7 (т е. ошибка была до­пущена в промежуточных вычислениях)

К ошибке может привести неправильно переписанная задача. Достаточно пропустить скобки, заменить плюс на минус, и задачу никогда не удастся решить правильно.

Поэтому внимание:

Не жалейте бумаги при решении задач. Пишите крупными цифрами и буквами, выразительно, четко пишите знаки. Не слишком доверяйте памяти — пусть каждое действие найдет свое место на бумаге!

С этими ошибками вообще творятся удивительные дела. Оказывается, что при проверке человеку труднее «выловить» ошибки. Иногда, просматри­вая выполненные действия, ты смотришь на такую запись 2 + 2 = 5 и не заметишь, что что-то здесь не то.

Если проверка выполненных действий не выявила ошибок, то лучше всего решить задачу еще раз на отдельном листе. Каждое действие срав­ниваешь с выполненным прежде и проверяешь, нет ли различия. Если есть, то значит, ты нашел ошибку. Если и это не поможет, надо на некоторое вре­мя отложить задачу и заняться чем-нибудь другим. После этого тебе будет значительно легче отыскать эту «упрямую» ошибку.

Б. Решение задач с содержанием.

Задачи с содержанием потому труднее задач без содержания, что не всегда их можно понять, то есть не всегда знаешь, чего от тебя хотят

Представляется, что в отношении почти ко всем задачам с содержанием понять их — все равно что составить уравнение или неравенство, правиль­ное решение которых является ответом на поставленный в задаче вопрос. Иными словами, задачу с содержанием надо преобразовать в задачу без со­держания, а дальше поступать в соответствии с правилами, содержащимися в предыдущем подразделе.

Перечислю по пунктам действия, выполнение которых поможет в понима­нии задачи-

1. Задумайся на минуту, не решал ли ты когда-нибудь похожей задачи, поищи в тетради. Если да, найди сходство и различие между старой и но­вой задачами Другими словами, поищи алгоритм решения задачи.

2. Четко выпиши в блокнот все данные твоей задачи, а также содержа­щееся в ней неизвестное. В задачах с содержанием это особенно важно, пото­му что и данные, и неизвестное часто в них «спрятаны» в большом количе­стве слов. Надо их найти и записать. Посмотрите, как это иногда выглядит:

«Кирпич весит килограмм и полкирпича. Сколько весит кирпич?» Почти все отвечают не задумываясь: кирпич весит 1,5 килограмма. Почему? Потому что возникает такая мысль: если кирпич весит килограмм, то еще прибавлю 0,5 кирпича, или 0,5 килограмма, то получится 1,5 килограмма. Однако от­вет ошибочный. Используем сейчас метод выписывания данных:

«Неизвестным является вес кирпича, которое обозначим через х».

Дано, что кирпич весит 1 кг + 0,5 кирпича, или 0,5 х.

«Весит» — это все равно что «равняется» (эта запись касается связи между неизвестным и данными)

И тогда для решения составляется простое уравнение х = 1+0,5 х, кото­рое преобразуем в ½ х =1 и х = 2.»

Таким образом, единственной трудностью оказалось преобразование «хит­ро» записанного содержания в уравнение.

А сейчас другой пример: «В бассейн вливается вода через три трубы: первая подает 100 литров в час, вторая — 10 куб. дм в минуту, а третья — 1 литр в секунду. Одновременно из бассейна вытекает 50 литров воды в час. Подсчитай, сколько будет воды в бассейне через 5 часов, если исходный уро­вень был такой, как при закрытом стоке воды, вода подавалась через пер­вую трубу в течение 20 часов» Правда, это выглядит устрашающе? Столь­ко разных данных! Используем наш метод.

Вот данные задачи: вливается во­ды — 100 литров в час, 10 кубических дециметров в минуту, 1 литр в се­кунду, выливается воды —50 литров в час.

Вот неизвестные задачи:

промежуточное неизвестное — исходное количество воды—обозна­чим буквой у;

 

катер в пункт В, который находится на берегу реки, впадающей в озеро. Через м часов катер достиг пункта В, проплыв и километров по озеру, а половину этого количества километров по реке. Надо найти собственную скорость ка­тера, если скорость течения реки составляет с километров в час».

Многим ученикам именно рисунок, простое графическое представление помогает в решении этой задачи. Даже при оперировании символами.

Если в задаче данные являются не символами, а числами, напиши их на своей «пространственной схеме» в соответствующих местах.

Указанный выше рисунок задачи поможет тебе, например, сразу понять, равна ли собственная скорость катера на реке у + с или у — с. Попробуйте, впрочем, решить эту задачу — это, правда, интересно.

4. Для решения задачи необходимо понимание связи данных с неизвест­ным. В большинстве случаев эта связь простая - ее определяет уравнение или неравенство. Однако есть задания, |де между данными и неизвестным выступают более сложные связи — это дополнительные данные, без которых задачу решить нельзя.

Вот еще одна интересная задача: «Медведь вышел из пункта Р и прошел 1 милю, все время идя на юг. Потом изменил направление и прошел 1 милю на восток. Потом снова повернул налево и прошел одну милю на север, при­дя в тот же пункт Р. Какого цвета был медведь?»

Нет, это вовсе не юмор! Какая имеется связь между данными задачами и неизвестным, то есть цветом медведя? Подумай: ведь для того, чтобы прой­ти милю на юг, потом милю на восток, а потом еще милю на север и вернуть­ся в то же самое место, из которого вышел, надо находиться в определенном пункте Земли очень близко от полюса.

Остается еще ответ на вопрос: какой это был полюс? Это мог быть Север­ный полюс, тогда медведь, выйдя из пункта Р, шел бы на юг вдоль линии меридиана, потом повернул бы на восток, идя вдоль линии параллели, а потом снова свернул на север и пошел вдоль линии другого меридиана в направле­нии Северного полюса. Путь его выгля­дел бы так, как на рисунке.

Это также мог быть и Южный по­люс. Рисунок пути медведя выглядел тогда бы немного иначе, но это решение надо отбросить. Почему? Потому что на Южном полюсе нет медведей. Стало быть, это был белый медведь, живу: около Северного полюса.

 

А какое дополнительное данное ты должен был использовать, решая предыдущую задачу о катере?

Дополнительные данные необходимо не только понять. Их надо запи­сать. В случае с медведем это были сведения из географии и биологии. В зада­чах из ваших учебников это будут другие примеры. Если ты поймешь, какой информации недостает тебе для решения задачи, то будешь точно знать, что надо искать, чтобы эту задачу решить.

5. Тексты задач, как правило, заканчиваются либо повелительным пред­ложением, начинающимся обычно со слова «подсчитай...», либо вопросом. Если задача заканчивается предложением чего-либо, замени его на вопрос и запиши в блокнот. Можешь ли ты сформулировать этот вопрос несколько раз с помощью разных слов? Вот пример: «Высчитай объем тела, на каркас которого пошло 13,4 дм² картона». Вопросы, которые ты можешь в этом случае сформулировать, будут следующие:

— Каков объем тела, ограниченного этим каркасом?

— Сколько дм² имеет тело, ограниченное этим каркасом?

Я почти готов поспорить, что дополнительные вопросы, которые ты сейчас формулируешь, звучат так: «А зачем я должен все это делать?! Разве это так важно при решении задач?»

Да, это важно.

Из проводимых в последнее время исследований творческого мышления вытекает, что у большинства людей (хотя и не у всех), работает интересный «механизм»: вопрос больше возбуждает мышление, чем строгое распоря­жение. Если же ты запишешь вопрос несколько раз с помощью разных слов, начинает действовать дополнительный механизм, тоже важный: ты вы­делишь неизвестное задачи как бы с разных сторон, можно сказать, ты «при­глядываешься» к задаче. А это очень помогает при решении задач, точнее, при поиске решения.

6. Если тебе не удалось найти способ решения после выполнения тех действий, которые я описал выше, напиши в том порядке, в котором тебе при­ходят в голову возможные способы решения твоей задачи. Но не оценивай эти способы — хороший или плохой способ, годится или не годится — просто напиши. Оценишь и выберешь один из способов через несколько часов или на следующий день.

И, наверное, убедишься, что легче найти правильный способ, когда есть из чего выбирать. Возможно — а это достаточно часто случается! — что после выписывания различных способов, из которых все окажутся непригод­ными, при дальнейшей оценке тебе придет в голову правильный способ реше­ния. Основным условием является: не оценивать способы немедленно.

И не забывай, что есть очень много задач, которые можно решить несколькими способами. Потому что способ — это не что иное, как план реше­ния, правда?

В конце общих замечаний, касающихся решения задач с содержанием, я вспомню еще одну известную рекомендацию. Она звучит так: «Упорно, но разными путями». Что это означает на практике? Во-первых, не отбрасывай данного способа решения, пока не убедишься, что он фальшивый, что нику­да не приведет. Во-вторых, не «замыкайся» на одном решении, которое ка­жется тебе интересным. Тщательно проверь его, но если оно не дает резуль­тата, отбрось его и ищи следующее.

И еще несколько «технических» советов, касающихся перерывов при ре­шении задач, а также внутренних условий:

— Постарайся, насколько это возможно, решать трудные задачи в та­ких условиях, которые помогут тебе больше всего сосредоточить внимание (обычно больше всего мешают разговоры, шум и движение в ближайшем окружении).

— Придя из школы, имея еще в памяти объяснения учителя, прочти все математические задачи, которые ты должен решить. Подумай над ними. Реши те, которые очень трудны для тебя.

— Вечером, после подготовки уроков и перерыва, прочитай остальные задачи, снова подумай над ними, реши те, которые можешь решить. Только ничего не делай непосредственно перед сном. Самые трудные задачи оставь на утро.

— На следующий день встань значительно раньше, чем обычно. Поста­райся решить эти самые трудные задачи. Потому что в эту пору — ранним утром! — твой мозг в целом лучше работает, особенно когда речь идет о пони­мании. А это необходимо тебе при решении задач больше всего.

Прошу тебя: всегда помни только о том, чтобы каждый раз прочитать и задуматься над всеми задачами!

Это первое условие. А сейчас второе, тоже важное. Когда ты голоден, а кто-то за тебя съест обед, то, наверное, ты не наешься, правда?

Наверняка ты не согласишься на такую замену! Так почему же многие из вас позволяют своим папам, мамам, дядям, старшим братьям и младшим родственникам, чтобы они решали за вас ваши математические задачи?

Не думаешь ли ты, что если кто-то решит задачу за тебя, то ты таким способом научишься их решать? Наверное, не научишься.

Математика — это в большой степени наука мышления. Точного, четкого мышления. И видимо, ты понимаешь, что, так же как никто не может за тебя есть, так никто не может за тебя мыслить. Это надо делать самому.

Если ты хочешь, чтобы математика перестала быть для тебя ежеднев­ным «кошмаром», надо ее отважно «атаковать». Этот способ в целом дает самые лучшие результаты. Ты убедишься, что позднее математика будет для тебя одним из приятнейших предметов.

Ее можно любить!

В конце этой главы:

Знаешь ли ты, чем часто в свободное время занимаются математики' Любят слушать музыку или читать стихи. Иногда и то и другое. Более попу­лярна среди них музыка.

Так что же музыка - конечно, серьезная музыка — имеет общего с ма­тематикой? Высокую степень абстракции.

Так же высокой степенью абстракции, хотя и пониже, чем музыка, отмечена поэзия

Это трудная формулировка, которую я тут написал, но... Разве я не знаю, что часто молодые люди понимают намного больше, чем другие о них думают...

 

Боишься экзаменов?

 

Честно говоря, я не поэт, стихов не пишу, но когда я увидел, как мой зна­комый Сташек готовится к экзаменам, пришел мне в голову такой стишок:

Нет, не хочет он опять

Лишь уроки повторять

И над книгами сидеть.

Хочет всюду он успеть:
Новый фильм не пропустить,               
Географию учить,

На прогулку в лес сходить,

И английский «подзубрить»,

И в ворота гол забить,

И про дроби повторить!

Как все это совмещать

И повсюду поспевать?!

В самом деле, все это Сташек хочет делать... по очереди. Это значит: не­много поучить историю, потом потренироваться в прыжках или поиграть в футбол, потом снова повторить алгебру, пойти на речку и поплавать, потом написать сочинение, потом поиграть в волейбол и... И за неделю перед экза­менами повторить весь материал от начала до конца.

Просто Сташек хочет, чтобы подготовка к экзаменам не мешала ему в иг­рах и спортивных тренировках.

Каждый из вас признает — и я признаю тоже — что все это очень привле­кательно... К сожалению, это только теория!

На практике таким способом к экзаменам не подготовишься.

Сташек удивился, когда я предложил ему немного изменить его метод: дело не в том, чтобы подготовка к экзаменам не мешала играм и спортивным тренировкам, а наоборот, чтобы тренировки и игры помогали готовить­ся к экзаменам!

Конечно, если ты хочешь сдать экзамен, рассчитывая только на се­бя, а не на счастливую судьбу, которая как тот луч солнца — раз он есть, а в другой раз его нет...

Но если ты все-таки хочешь сдавать экзамены, рассчитывая на счастли­вую судьбу, то не читай эту главу, можешь смело ее пропустить, она тебе не нужна. Эта глава написана только для тех, кто при сдаче экзаменов хочет рассчитывать только на себя.

Итак, только они читают эту главу дальше.

Разделим эту главу на несколько частей:

I — КАК ГОТОВИТЬСЯ К ЭКЗАМЕНАМ?

II — КАК СДАВАТЬ ЭКЗА­МЕНЫ?

III — КАК СДАВАТЬ ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ?

Потому что одно дело — подготовка к экзаменам и совсем другое — сда­ча экзаменов (то есть когда ты стоишь перед комиссией и отвечаешь или пи­шешь письменную экзаменационную работу). Подготовка к экзаменам и сда­ча экзаменов друг с другом тесно связаны, однако это разные вещи. (Я уже говорил об этом в главе «Как отвечать на уроке?».)

 

Как готовиться к экзаменам?

Начнем с утверждения, что экзамен — это попросту проверка того, что ты умеешь...

Вот именно: что умеешь или знаешь? С ответа самому себе на этот вопрос, очень важный вопрос, надо начинать подготовку к экзаменам. Это — первый этап.

Первый этап

Определи для себя, что ты умеешь, а чего не умеешь, преж­де всего, для того, чтобы не повторять всего подряд, потому что это не имеет смысла и занимает слишком много времени. Определи также, каков уровень этого твоего «умения» и «неумения».

Определить это можно легко: сделай несколько десятков небольших кар­точек размером в четверть тетрадного листа, а на карточках напиши вопро­сы по данному предмету.

Внимание: на одной карточке — один вопрос!

Теперь, перетасуй карточки, потом вытаскивай их по очереди и отвечай на вопросы. Но только честно! Если ты сумеешь ответить на вопрос хорошо — поставь на карточке крестик, если немного хуже — треугольник, если совсем плохо — квадрат. (Естественно, значки могут быть и другие, какие захочешь.)

Еще лучше получается такая игра вдвоем с другом или подругой. Сме­няйте друг друга, будьте по очереди «преподавателями» и «экзаменуемыми». Чудесная игра! Рекомендую.

Когда все карточки будут уже проверены, ты будешь хорошо знать, что ты умеешь, а чего не умеешь, в какой степени умеешь. При повторении ты посвятишь больше времени тому материалу, где на вопросах нарисовал квадрат, немного меньше — где треугольник, и меньше всего — там, где на­рисован крестик.

Материал, который ты должен повторять, надо по-умному разложить. По-умному — значит так, чтобы он не утомлял, потому что в этом случае не­много останется в голове.

Тут начинается...

Второй этап.

Составь план повторения.

Такой план повторения — очень хорошая штука. И очень легко «уклады­вается» на бумагу.

Однако для того чтобы этот план тебе помог в подготовке к экзамена он должен остаться не только на бумаге. Нужно составить его так, чтобы сам мог к нему приспособиться. При составлении плана своей работы обрати внимание на то, о чем я говорил в предыдущей главе об организации времени, а также на следующие пункты:

 " 1. Подготовку к экзаменам лучше всего начать за два месяца перед началом экзаменов. Раздели эти месяцы на недели и подумай, что в какую неделю ты хочешь повторять. Например: в первую неделю я повторяю математику и историю, во вторую — географию и русский и т. д. Подумав и решив, запиши все на листе с заголовком ПЛАН.

Внимание: ты достигнешь лучших результатов, если будешь в течение одной недели повторять одновременно два предмета, причем различных. Например, математику и историю, географию и русский, физику и иностранный язык.

2. Более подробный план составляй всякий раз в начале каждой недели: сколько часов ежедневно ты намерен повторять? Какие главы?

При этом помни, что лучше всего учится забытый предмет в первые три дня недели, поэтому в следующие три дня лучше повторить то, что выучил раньше. И в той очередности, в какой ты учил эти предметы в первые три дня. Таким способом намного легче усвоить и запомнить экзаменационный материал. Повторение должно занимать несколько меньше времени, чем изучение. Очень хорошо, если один день в неделю, кроме воскресенья, останется свободным. Его надо иметь в запасе.

3. Каждый день утром подумай, когда ты будешь готовиться к экзамену, а также что ты будешь учить, какие предметы, какие главы. И еще, каким способом ты их будешь учить. Только подумай, задумайся об этом с утра, перед тем, как идти в школу, ничего не записывай, но выполни это.