Выявление общих тенденций в рядах динамики

Тенденция – общее направление к изменению, стабилизации уровней явления во времени.

Основная тенденция развития (тренд) – достаточно плавное, устойчивое изменение уровня явления во времени, относительно свободное от случайных колебаний.

Устранение колебаний, вызванных случайными факторами, изучение основной тенденции в рядах динамики, осуществляется различными методами, наиболее распространённые – метод укрупнения периодов, скользящей средней, аналитического выравнивания.

Во всех случаях вместо фактических уровней вычисляются расчётные, в которых взаимопогашается действие случайных факторов, уменьшая тем самым колеблемость уровней, от чего последние становятся как бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным.

Метод укрупнения периодов – наиболее прост. Суть его в преобразовании первоначального ряда динамики в ряд, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам. Эффективен, если первоначальные уровни относятся к коротким промежуткам времени, поскольку, чем меньше период, за который приводятся данные, тем больше влияние случайных факторов. При необходимости период может быть постепенным – от малых интервалов к всё более продолжительным, пока не проявится тенденция. Средняя по укрупнённым интервалам, будет характеризовать тенденцию развития.

Y _I = Y ₁ + Y ₂ + Y ₃; Y_II = Y ₄ + Y ₅ + Y ₆      и т.д.

Метод скользящей средней – подвижная динамическая средняя, исчисляемая, по динамическому ряду, при последовательном передвижении (скольжении) на один интервал и постепенным при этом исключением из системы первого уровня и включением последующего,

Рассмотренные приёмы выявления общей тенденции всё же не позволяют в полной мере получить описание тренда. Для этой цели используют аналитическое выравнивание. Этот способ делает более чётким направление основной тенденции и одновременно отражает числовую её характеристику.

Суть выравнивания заключается в замене фактических уровней (Y_i) - теоретическими (выровненными) (Ŷ _t), вычисленными по определённым уравнениям, принятыми за математическую модель тренда, где выровненные уровни рассматриваются как функция времени (t): Ŷ _t = t (f).

В зависимости от характера изменения процесса развития явления, аналитическое выравнивание может быть произведено:

по линейной прямой Ŷ _t = a ₀ + a ₁ t

по показательной функции Ŷ _t = a ₀ · a ₁ ^t;

по гиперболе Ŷ _t = a ₀ + a ₁ / t;

по параболе 2-го порядка Ŷ _t = a ₀ + a ₁ t + a ₂ t ² и некоторым другим.

Выбор функции осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, а также определённую вспомогательную роль могут играть механические приёмы сглаживания – укрупнение, скользящей средней.

методы экстраполяции:

1) по среднему абсолютному приросту – если абсолютные приросты рядов динамики примерно постоянны, то используют среднее значение абсолютного прироста, последовательно прибавляя его к последнему уровню на величину продолжительности прогноза: Ŷ _{i + t} = У _n + ∆∙ t, где t – срок прогноза.

Использование этого метода возможно только при условии, что: σ²_ост. ≤ p²,

где p ² = ½(∑∆ _i ² / n);   σ²_ост. = ∑(У _i - У_∆)² / n;

2) по коэффициенту (темпу) роста – если за ряд лет годовые коэффициенты роста (темпы) остаются относительно постоянны, то рассчитав их и умножив последний уровень ряда динамики на средний коэффициент роста в степени, соответствующей периоду прогноза: Ŷ _{i + t} = У _n ∙ K _р ^t, получим его;

3) на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле, т.е. зная параметры уравнения для теоретических (выровненных) уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, можно рассчитать для данного промежутка вероятные уровни (Ŷ _{i + t}): Ŷ _{i + t} = а_о+ а₁∙ t_{i + t}.

Любой статистический прогноз носит приближённый характер. Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза: Ŷ _t ± t_σ ∙ σ_{y 1} ,

где σ_y1 - среднеквадратическая ошибка тренда; Ŷ_t – теоретическое значение уровня ряда;  t_σ  - доверительная величина.

Изучение сезонных колебаний

В рядах динамики, уровни которых являются помесячными либо поквартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются и сезонные колебания – сравнительно устойчивые внутригодичные колебания (периодически повторяющиеся из года в год повышение или снижение) уровней явления в отдельные периоды (месяцы, кварталы) года.

Наличие сезонных колебаний можно рассматривать с применением графического метода, дающего более наглядное представление о сезонной волне, а также при помощи индексов сезонности (I _с) – процентного соотношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней и теоретических (расчётных), выступающих в качестве базы сравнения.

Их расчёт выполняют несколькими методами.

1. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции, а годовые уровни остаются относительно постоянны, вычисление производится непосредственно по эмпирическим данным (метод постоянной средней):

I_s  = Y_i ^ср / Y_o ^ср ×100,

где Y_i^ср - средняя из фактических одноимённых месяцев;

Y_o^ср – общая средняя за рассматриваемый период.

Индексы сезонности вычисляют в несколько этапов: а) определяется средний уровень для каждого месяца по всему рассматриваемому периоду, что позволит избавиться от случайных колебаний месячных уровней по годам;

б) определяется общая средняя за весь период (делением общего объёма явления на число месяцев, при расчёте колебаний на основе среднесуточных уровней – на число календарных дней периода); в) исчисляют индексы по приведенной формуле с соответствующими выводами и предложениями.

2. Если уровни проявляют тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянной средней могут исказить сезонные колебания. В этих случаях фактические данные, сопоставляются с выравненными - по определённой аналитической формуле: I_s  = Y_i ^ср / Ŷ _t ×100, где Y_i^ср - средняя из фактических одноимённых месяцев за рассматриваемые годы; Ŷ _t – средняя из сглаженных (выровненных) уровней одноимённых месяцев за рассматриваемые годы.

Рассчитывают в следующей последовательности: а) определяют средний уровень для каждого месяца по всему периоду; б) производят аналитическое выравнивание или сглаживание 12-месячной скользящей средней; в) определяют для каждого месяца среднюю из выровненных уровней по всему периоду; г) на основе полученных данных, исчисляют индексы для каждого месяца.

Для сопоставления величины сезонных колебаний по нескольким объектам или периодам, производят измерение её колеблемости, вычислением среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации соответственно:

σ _s = √∑(Y_i ^ср – Ŷ _t)² / n и V_{σ =} σ_s / Y _ср или    σ _s = √∑(I_s –100)² / n

Чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем меньше величина сезонных колебаний.

Maксимальное значение наибольшего отклонения от среднего уровня называют коэффициентом неравномерности сезонной нагрузки.