Система динамических индексов

При изучении развития экономических явлений в динамике, возникает необходимость исчисления системы динамических индексов – индексы, рассчитанные за несколько временных периодов по единой схеме, при которой достигается сопоставимость.

 При наличии данных за несколько периодов, индексы, как и коэффициенты роста могут быть рассчитаны цепным и базисным вариантом; определены с постоянной и переменной базой сравнения.

 Если в качестве веса используют показатель одного и того же периода – получают индекс с постоянными весами. Если от индекса к индексу, в качестве веса, применяют показатель другого периода – получают индекс с переменными весами. При этом индексы качественных показателей строятся преимущественно с переменными весами (т.к. в них применяются веса текущих периодов), объёмных показателей – с весами базисного периода.

В зависимости от информационной базы и целей исследования система индексов может строится в 4-х вариантах.

1. Цепные индексы цен с переменными весами :  I_p ^1/0 = ∑ p ₁ q ₁ / ∑ p_oq ₁;

I_p ^2/1 = ∑ p ₂ q ₂ / ∑ p ₁ q ₂;  I_p ^3/2 = ∑ p ₃ q ₃ / ∑ p ₂ q ₃;    I_p^{n / n -1} = ∑ p_nq_n / ∑ p_{n -1} q_n

2. Цепные индексы цен с постоянными весами:   I_p ^1/0 = ∑ p ₁ q_o / ∑ p_oq_o;

I_p ^2/1 = ∑ p ₂ q_o / ∑ p ₁ q_o;  I_p ^3/2 = ∑ p ₃ q_o / ∑ p ₂ q_o;    I_p^{n / n -1} = ∑ p_nq_o / ∑ p_{n -1}q_o

3. Базисные индексы цен с переменными весами: I_p ^1/0 = ∑ p ₁ q ₁ / ∑ p_oq ₁;

I_p ^2/0 = ∑ p ₂ q ₂ / ∑ p_oq ₂;  I_p ^3/0 = ∑ p ₃ q ₃ / ∑ p_oq ₃;     I_p^{n /0} = ∑ p_nq_n / ∑ p_oq_n;

4. Базисные индексы цен с постоянными весами: I_p ^1/0 = ∑ p ₁ q_o / ∑ p_oq_o;

I_p ^2/0 = ∑ p ₂ q_o / ∑ p _щ q_o;  I_p ^3/0 = ∑ p ₃ q_o / ∑ p_oq_o;    I_p^{n /0} = ∑ p_nq_o / ∑ p_oq_o.

Аналогично строятся и другие индексы.

3.5. Индексы постоянного и переменного состава Индексы переменного состава – отражают динамику среднего показателя для однородной совокупности как за счёт изменения и индексируемой величины у отдельных элементов, так и за счёт весов по которым они взвешиваются. Любой индекс переменного состава – это отношение двух величин для однородной совокупности за два периода или по двум территориям:                    

I _У ^пс = Σ У₁П₁/ Σ П₁: Σ У₀П₀/ Σ П₀ = У₁ : У₀ (урожайности),

где ΣУП/ΣП – средняя урожайность.

Отражает изменение средней урожайности группы однородных культур как за счёт изменения урожайности по каждой культуре, так и за счёт изменения структуры посевных площадей.

Выражение: Σ У₁П₁/ Σ П₁ - Σ У₀П₀/ Σ П₀, - будет характеризовать изменение среднего показателя в абсолютном выражении.

Индексы постоянного (фиксированного) состава – отражают динамику среднего показателя лишь за счёт изменения индексируемой величины, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчётного периода. Также рассчитывают для двух периодов, при одной и той же фиксированной структуре:

I _У ^фс = Σ У₁П₁/ Σ П₁: Σ У₀П₁/ Σ П₁

где ΣУ₀П₁/ΣП₁ – условная величина, характеризующая, урожайность базисного периода пи отчётной структуре посевных площадей.

Сократив формулу на Σ П, получим индекс урожайности фиксированного состава в агрегатной форме:      I_У^фс = ΣУ₁П₁/ΣУ₀П₁.

Разность между числителем и знаменателем определяет физическое изменение среднего показателя.

Разделив индекс переменного состава на индекс фиксированного состава, получим индекс структуры.

Индексы структурных сдвигов - отражают динамику среднего показателя за счёт изменения лишь одних весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода: I ^сс = (Σ У₀П₁/ Σ П₁): (Σ У₀П₀/ Σ П₀) или ∑S₁У₀/∑У₀S₀: ∑S₁/∑S₀.

Выражение:  ∑У₀S₁ – (∑У₀ ×∑S₁) характеризует изменение среднего показателя, вызванное влиянием структурных явлений.

Между индексами переменного, фиксированного составов и структурных сдвигов существует зависимость, выраженная:

I _У ^пс = I_У^фс × I ^сс     или I _У ^пс : I_У^фс = I ^сс  или I_У^фс = I _У ^пс : I ^сс.

Функциональная связь (полная связь)– если определённому значению независимой переменной х, строго соответствует зависимая переменная у, а с изменением факторного значения (х), строго определённым образом меняется и результативное значение (у). Возможна лишь при условии, что вторая зависит только от первой. Особенность связи в том, что в каждом отдельном случае известен полный перечень признаков х, определяющих значение у. Функциональную связь можно представить следующим уравнением: Y_i = x_i (ƒ).

Если такая связь проявляется постоянно для каждого единичного случая, то её называют жёстко детерминированной. Для выявления функциональной связи достаточно одного лишь наблюдения.

Стохастическая связь (неполная связь) представляет собой связь между величинами, при которой одна из них реагирует на изменение другой величины. При данной связи разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения другой, что связано с влиянием на результативный признак, помимо рассматриваемых факторных, ещё и ряда неучтённых, неконтролируемых или некоторых неизбежных ошибок измерения переменных.

Частным и важнейшим случаем стохастической связи является корреляционная (от английского – соответствие, соотношение).

 Корреляционная - связь, проявляющаяся при большом числе наблюдений, в виде определённой зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами. Проявляется только в средних величинах и выражает числовое соотношение в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой. Связь является неполной, свободной, значения которой могут быть указаны лишь с определённой вероятностью.

По характеру направления выделяют зависимость прямую и обратную.

При прямой зависимости значения обоих признаков (у и х) изменяются в одном направлении, т.е. с увеличением х, увеличивается и у (рост производительности способствует росту уровня рентабельности), при обратной - значения факторного и результативного признаков изменяются в разных направлениях, т.е. с возрастанием х, значение у снижается (снижение себестоимости единицы продукции способствует повышению прибыли).

По аналитическому выражению выделяют связи линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные).

Линейные – когда величина явления изменяется относительно равномерно, в соответствии с изменением величины влияющего фактора, и выражается уравнением прямой – Ŷ_х = a_o+a₁x. Если же происходит неравномерное изменение явления, в связи со значительным изменением фактора, то такую связь называют нелинейной, которую выражают каким-либо уравнением кривой: параболой – Ŷ_х = a_o+a₁x+a₂x²; гиперболой – Ŷ_х = a_o+a₁(1/x) и другими.

Дисперсионный анализ – даёт возможность определить значение систематической вариации, вызванной влиянием основного факторного признака, а также случайной вариации в общей.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения зависимости, в котором изменение одной величины (зависимой переменной; результативным признаком) у, обусловлено влиянием одной или нескольких независимых (факторных признаков; аргументов) переменных (х).

В зависимости от задач в статистике часто применяют метод парной регрессии – оценка связи между результативным и факторным признаками. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

линейной прямой Ŷ_х = a_o + a ₁ x;

гиперболы             Ŷ_х = a_o + a ₁ (1/ x);

параболы               Ŷ_х = a_o + a ₁ x + a ₂ x ²  и др.

Определить тип уравнения можно графически – методом построения корреляционного поля, составления корреляционных таблиц, пересмотра и изучения различных аналогичных фактов, литературных источников и т.п., или же руководствоваться более общими указаниями: если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, это свидетельствует о наличии линейной связи, при обратной зависимости – гиперболическая. Если же результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используют параболу или степенную.

Очень важным этапом регрессионного анализа является интерпретация - перевод с языка статистики на язык экономики, - начинающаяся со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного фактора на результативный признак. При анализе необходимо обращать внимание на знаки перед коэффициентом. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет отрицательное, то необходимо проверить расчёты параметров уравнения регрессии, что может быть вызвано допущенными при решении ошибками.

В дополнение, применив для удобства интерпретации параметра а₁ коэффициент эластичности (Э_х=а₁(х_ср/у_ср), можно отметить, что при увеличении на 1 % дозы внесения минеральных удобрений под подсолнечник, урожайность последнего возрастёт лишь на 0,4%.