Измерение тесноты взаимосвязи

Корреляционный анализ имеет своей задачей числовое определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

При парной линейной зависимости коэффициент корреляции рассчитывается по:                          

r _ух = ^ср∑ xy -∑ x _ср ∙∑ y _ср / σ_x σ_y       

    или  r _ух = ^ср∑ xy -∑ x _ср ∙∑ y _ср / √(х²_ср-х_ср²)-(у²_ср-у_ср²).

Шкала оценки r находится в границах от 0 до 1; если r=0 – связь отсутствует; если r=1 – cвязь функциональная; чем r ближе к 1, тем взаимосвязь между признаками сильнее. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента можно представить следующим образом: если r находится в пределах от 0,1 до 0,3 – связь заметная; от 0,3 до 0,5 – умеренная; 0,5-0,7 – достаточная и 0,7 - 1,0 – высокая или тесная. Знак при r указывает направление связи: если «+», то – прямая, при «-» – обратная.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют универсальный показатель, так называемое корреляционное отношение (коэффициент корреляции по Пирсону), применимое ко всем случаям корреляционной связи, независимо от её формы.Различают эмпирическое и теоретическое отношение.

Эмпирическое – рассчитывается по аналитической группировке (или корреляционной таблице) на основе правила сложения дисперсии, как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии результативного признака (δ_у²) к общей дисперсии (σ_у²) этого же признака:

η_эмп. = √ σ_у²-σ²/σ_у² = √ 1 – σ²/σ_у² = = √δ_у²/σ,

где η_эмп. – корреляционное отношение; σ_у² - средняя из групповых дисперсий.

Характеризует вариацию результативного признака за счёт всех факторов, включая и фактор х, т.е. измеряет общую вариацию величины у.

Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака (Ŷ _t) по уравнению регрессии и далее по формуле: η_теор. = √ δ_ŷ² / σ_ŷ² = √ 1 – σ²_ост. / σ_ŷ²

где δ_ŷ² - дисперсия выравненных значений результативного признака, рассчитанных по уравнению регрессии; σ_ŷ² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Характеризует вариацию результативного признака за счёт вариации только фактора х (при прочих равных условиях).

Обозначив дисперсию эмпирического ряда через σ_у² (D_y), а теоретические – через δ_ŷ² (D _ŷ), то каждую можно выразить формулами: D_y = σ_у² = ∑(у _i -у_ср.)²/ n,

а D _ŷ = δ_ŷ² = ∑(ŷ_х-у_ср.)²/ n.

Сравнивая вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации: η_т²=D_ŷ/D_y = δ_ŷ²/σ_у² или η_т²=∑(ŷ_х-у_ср.)² / ∑(у_i-у_ср.)².

Показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора х на вариацию у.

Извлечением корня квадратного из коэффициента детерминации, получают теоретическое корреляционное отношение:        η_т=√D_ŷ/D_y = δ_ŷ²/σ_у²

или η_т=√(∑(ŷ_х-у_ср.)² / ∑(у _i -у_ср.)²).

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0≤η≤1). При η = 0 - группировояный признак не оказывает влияние на результативный,если η = 1, - то результативный изменяется только под влиянием группировочного, влияние же прочих = 0. Промежуточные величины оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям: чем ближе к 1, тем взаимосвязь сильнее. Анализ степени тесноты связи в итоге должен полностью соответствовать линейному коэффициенту корреляции.

Анализ многофакторной связи

Решение практических задач сталкивает с тем фактом, когда корреляционные связи не ограничиваются зависимостями между двумя признаками. В действительности результативный признак зависит от множества факторов (Например, продуктивность животных тесно связана с уровнем кормления, генетическими особенностями, условиями содержания и т.д., каждый элемент которых, в свою очередь, вбирает множество других не менее важных факторов).

Среди многофакторных регрессионных моделей также выделяют: линейные и нелинейные. Наиболее простым для построения, анализа и экономической интерпритации являются многофакторные линейные модели, содержащие переменные только первой степени: Ŷ_х1х2у = а_о+а₁х₁+а₂х₂+…+а _n х _n, где а_о – свободный член уравнения; а₁; а₂; а_n – коэффициенты регрессии; х₁; х₂; х_n  - факторные признаки.

интерпритация, т.е. статистическая оценка уравнения регрессии и значимости входящих в модель факторных признаков. При этом следует иметь ввиду, что при рассмотрении совокупного влияния факторов, в силу наличия особенностей во взаимосвязи между ними характер их влияния может меняться.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности и детерминации, а также множественный коэффициент детерминации.

Частные коэффициент эластичности вычисляют с целью получения возможности сравнительной оценки связи под влиянием отдельных факторов и информации о тех резервах, которые в них заложены; вычисляютпо формуле:

Э _i = а _i (x_i ^ср /у _i ^ср),

где а_i – коэффициент регрессии при факторе i; xⁱ_cр – среднее значение i -го фактора; уⁱ_ср – среднее значение изучаемого показателя.

Частный коэффициент детерминации (d_x): показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией факторного, входящего в множественное уравнение регрессии:    d _x = r_yx · β_x,

где  r_yx – парный коэффициент корреляции между результативным и исследуемым факторным признаками; β_x – соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе (β_x = a₁ · (σ_x˛ / σ_y).

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным признаком и несколькими факторными, а также между каждой парой факторных признаков:

R _{y / x 1; x 2} = √δ² / σ² = √1- (σ² _ост / σ²),

где δ² - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии; σ²_ост   - остаточная дисперсия; σ²- общая дисперсия.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты между двумя признаками х₁ и х₂  при фиксированном значении других факторных признаков (х₃ и т.д.), когда влияние последних исключается, т.е. связь между х₁ и х₂ оценивается как бы в «чистом виде».

Множественной коэффициент детерминации (D), представляющий собой значение R ²,показывающее величину доли общей вариации результативного признака, обусловленной изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.