Графическое построение плотности вероятности погрешности результата цифрового измерения

 

Напряжение измеряется цифровым вольтметром, имеющим шаг квантования q = 10 мВ. Шумы и нестабильность электронных компонентов вольтметра, приведенные ко входу прибора и влияющие на уровни квантования, имеют нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание m _н = 1мВ и среднее квадратическое отклонение s_н = 0,5 мВ. Предполагается, что во всех точках квантованной шкалы погрешности одинаковы.

Построить график плотности вероятности погрешности результата измерения и рассчитать ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

Решение

 

Плотность вероятности погрешности вольтметра определяется композицией погрешности квантования, имеющей равномерное распределение (размах, или ступень квантования, q = 10 мВ и математическое ожидание m _p = 0) и погрешности уровней квантования, имеющих нормальное распределение (т _н= 1 мВ и s_н = 0,5 мВ). Предполагается, что смежные уровни квантования имеют одинаковые погрешности.

Вычисляется композиция независимых случайных величин с помощью интеграла свёртки

,

где f – плотность вероятности; xи x_р– аргументы; индекс н – нормальный закон; индекс р – равномерный закон.

Если одна из величин подчиняется равномерному распределению, как это имеет место в рассматриваемом случае, то формула приводится к виду

где F _н – интегральная функция нормального распределения погрешностей уровня квантования.

Исходя из приведенной формулы, вид плотности вероятности погрешности определяем путем графического построения двух смещенных друг относительно друга интегральных функций нормального распределения, нахождения их разности и масштабирования (умножения на 1/ q).

Сначала строят плотность вероятности равномерного распределения, характеризующего погрешность квантования (рисунок 2.14, а).

Далее строят две плотности вероятности нормального распределения, характеризующих погрешности нижнего и верхнего уровней квантования, образующих даную реальную ступень кванотования (рисунок 2.14, б). Относительно точек x = –5мВ и x = +5мВ графики плотностей должны быть смещены на +1 мВ, т. е. на значение математического ожидания. При построении графика нормального распределения используем правило "трех сигм", т. е. за полуразмах распределения примем 3σ_н.

На рисунке 2.14, в показаны интегральные функции нормального распределения, однозначно связанные с плотностями вероятности через интегрирование последних.

 

 

Рисунок 2.14 – Построение плотности вероятности
результата цифрового измерения

 

И, наконец, на рисунке 2.14, г приведена кривая, полученная путем вычитания из одной фукции распределения другой. Эту разность, которую в литературе часто называют "профилем кванта", умножают на масштабирующий множитель и получают искомую плотность вероятности погрешности цифрового измерения.

Вычислим числовые характеристики полученной плотности вероятности.

Математическое ожидание погрешности результата измерения равно

m = m _р + m _н = 1 мВ.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле

,

где дисперсия погрешности квантования

следовательно,