Вероятность того, что прибор не годен

P { êe ê > D_и} = 1– 0,957 =0,043.

Вероятность эта для нормального закона распределения существенно меньше, чем для равномерного распределения. Поэтому возможно решение считать прибор метрологически годным.

 

Задача 3.4

Оценивание вероятностей годности при поверке омметра

Поверяется омметр. Решение о метрологической пригодности принимается путем сравнения действительной погрешности омметра с уровнем бракования, т. е. с контрольными пределами допускаемой погрешности, устанавливаемыми по условию, что риск потребителя (второго рода) равен нулю.

Определить вероятность того, что омметр действительно негоден, если пределы допускаемой абсолютной погрешности испытуемого омметра D_и=±10 Ом, пределы допускаемой абсолютной погрешности образцового прибора D_о = ±3 Ом (Р = 0,997, нормальный закон распределения), а результат сравнения показаний испытуемого и образцового приборов в некоторой контролируемой точке диапазона измерений, т. е. действительная погрешность равна =9 Ом.

Решение

Исходя из заданных пределов допускаемых погрешностей приборов и условия, что риск второго рода равен нулю, уровни бракования

±(D_и  – D_о) =   ±7 Ом.

Так как  > 7 Ом, то омметр должен быть забракован.

Определим вероятность того, что истинное значение погрешности ε превышает предел D_и. Она вычисляется следующим образом:

P { e > D_и} =

где f и F – соответственно плотность вероятности и интегральная функция нормального распределения погрешности образцового прибора.

Для заданной погрешности образцового прибора D_о = ±3 Ом принимаем математическое ожидание т = 0, среднее квадратическое отклонение s = 1 Ом (правило "трех сигм": для вероятности 0,997 предел допускаемой погрешности D_о = 3 s).

Перейдем к нормированной переменной  и воспользуемся таблицей функции Лапласа-Гаусса:

P { e > D_и}=

Вероятность того, что омметр действительно не годен, оказалась 0,16. Решение правильное для риска второго рода, равного нулю (0,16 > 0). Однако большой риск первого рода – годный прибор может быть забракован. Поэтому следует взять более точный образцовый прибор.

Задача 3.5

Определение аддитивной, мультипликативной и нелинейной погрешностей прибора по результатам испытаний

 

Определить аддитивную, мультипликативную и нелинейную составляющую погрешности вольтметра по экспериментально полученным во время метрологических испытаний значениям погрешности в 11 равномерно распределенных точках диапазона измерений. Данные сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Ui, В	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
e i, мВ	3,0	2,5	2,0	–0,2	–2,2	–3,1	–4,0	–4,5	–5,6	–7,5	–8,0

 

Решение

Задача сводится к разложению экспериментальной зависимости e(U) на три составляющие – независимую от измеряемой величины (аддитивную), линейно зависимую (мультипликативную) и нелинейно зависимую (нелинейную)

e(U) = A + BU + e_нел(U),

где слагаемые принимаются соответственно за аддитивную, мультипликативную и нелинейную составляющие погрешности.

1 Аналитическое решение.

Таблично заданная функция e _i (U_i) аппроксимируется уравнением прямой A + BU, коэффициенты A и B которой находятся методом наименьших квадратов

где n – число точек (в нашем случае n = 11).

Расчет может быть выполнен с помощью ПЭВМ, имеющей соотвествующее программное обеспечение.

Расчетное значение А» 3,3 мВ есть аддитивная составляющая погрешности, приведенная ко входу и выраженная в абсолютных значениях. Расчетное значение В» –1,2×10^–2 есть мультипликативная составляющая погрешности, выраженная в относительных значениях.

Модуль максимума разности

½e(U_i) – (A + BU_i)½» 1,0 мВ

принимается за наибольшее значение нелинейной составляющей погрешности

e_нел = 1,0 мВ.

2 Графоаналитическое решение

По табличным данным строится график e(U_i), приведенный на рисунке 3.4. Зависимость эта аппроксимируется прямой e = А + В U. Прямая проводится «на глаз» так, чтобы суммарные площади, заштрихованные на рисунке, над прямой и под прямой были ориентировочно равны.

Рисунок 3.4 – К расчету аддитивной, мультипликативной
и нелинейной составляющих погрешности

 

Коэффициенты А и В находятся решением системы уравнений:

e _i = A + BU_i

e _j = A +BU_j,

где в качестве U_i и U_j удобно выбрать значения 0 и 1 В. Тогда значения e _i и e _j соответствуют точкам пересечения аппроксимирующей прямой с прямыми U = 0 и U = 1В.

По графику находим

А = e _i ≈ 3,2 мВ,

В =

Максимальное отклонение e _j (U_j) от аппроксимирующей прямой имеет место при U_i = 0,4 В и составляет примерно –1,2 мВ. Модуль этого значения принимаем за наибольшее значение нелинейной составляющей погрешности.

Таким образом, приближенное графическое решение достаточно хорошо совпадает с аналитическим.

Заметим, что экспериментальные данные приведены без учета погрешностей образцовых средств измерений.