Методы и приборы контроля качества

Степень понимания студентами сути оценивания достоверности контрольных (альтернативных) операций, основанных на применении теории вероятностей и математической статистики можно определить, предложив им решить следующие задачи.

При решении этих задач студенты используют табулированные значения функции Лапласа, вспоминают приемы вычислений частных производных и взятия интегралов, прибегают к графоаналитическим методам, обладающим хорошей наглядностью, что способствует пониманию студентами сути анализа.

Задача 4.1

Оценивание доли конденсаторов, попадавших в различные группы при разбраковке

 

Плотность вероятности относительной погрешности  емкости прецизионных конденсаторов контролируемой партии имеет треугольную симметричную форму (распределение Симпсона) с математическим ожиданием m = –1% от номинального значения и полуразмахом А = 5%. Конденсаторы разбраковываются на две группы: |   |£ 1 % и |   | > 1%. Какая доля конденсаторов из данной контролируемой партии попадет в первую и какая во вторую группу?

Решение

 

Аналитическое решение

Опишем плотность вероятности  погрешностей емкости конденсаторов математическим выражением. Так как по определению площадь под кривой плотности, в нашем случае площадь треугольника, должна равняться единице, т. е.

,

то максимальное значение плотности

.

При этом крутизна функции плотности левой ее части будет равна

и правой части .

Следовательно, плотность вероятности определится следующей функцией:

где все числовые значения выражены в процентах.

Вероятность того, что случайная величина  попадает в интервал [ a; b ], по определению равна

P { a <   £ b } = .

Из условия задачи следует, что a = –1%, b = 1%. Так как интервал [–1;1] находится внутри интервала [–1;4], искомая вероятность для первой группы равна:

P {–1 < £ 1} = f () d  = dx =

События {|   | £ 1%} и {|   |> 1%} противоположны, тогда

P {| |£1} + P {|   |>1} = 1.

Следовательно, вероятность того, что конденсатор попадет во вторую группу, равна P {|   |>1} = 1– P {|   |£ 1} = 1 – 0,32 = 0,68.

Таким образом, в первую группу попадает в среднем 32% конденсаторов, а во вторую – 68%.

Графоаналитическое решение

По заданным условиям построим в соответствующем масштабе плотность вероятностей f ()погрешности емкости конденсаторов (рисунок 4.1).

Границы групп разбраковки обозначены D (–1%) и F (+1%).

 

Рисунок 4.1 – Треугольная плотность вероятности погрешности
емкости конденсаторов

 

Вероятность попадания конденсатора в первую группу равна заштрихованной площади, которую можно вычислить как разность площадей:

Р {|   |£ 1 } = S_BDC – S_EFC =

= ,

так как EF =  Следовательно, вне допуска окажется 0,68 части от всей партии, т. е. 68%.

 

Задача 4.2

Определение вероятностей выполнения требований посадки в соединении вал – отверстие

 

На чертеже указана посадка с зазором Æ50 , где Æ50 – номинальный размер соединения; Н 6 – поле допуска отверстия; h 5 – поле допуска вала. При изготовлении деталей и настройке станков-авто­матов на середины полей допусков принимаем, что рассеивание размеров подчиняется нормальному закону и средние квадра­тические отклонения равны: для отверстия – 5 мкм, для вала – 4 мкм.

Определить предельные отклонения и размеры, допуски для отверстия и вала, максимальный и минимальный зазор, вероятность выполнения требований посадки и вероятность получения недопустимого увеличенного зазора и натяга.

 

Решение

Данная задача является развитием понятия «интервал качества», широко применяемого в системе Тейлора. В ней показан метод определения вероятности нахождения параметра качества соединения в интервале качества.

1 Определим предельные отклонения для отверстия и вала в интервале размеров от 20 до 50 мм по таблицам ГОСТ 25346 –89:

верхнее отклонение ES = 16 мкм,

нижнее отклонение EI = 0 мкм.

Для вала:

верхнее отклонение es = 0 мкм,

нижнее отклонение ei = –11 мкм.

2 Размер отверстия с указанием предельных отклонений Æ50 ^+0.016, а вала Æ50 _–0.011 .

Допуск отверстия есть алгебраическая разность между верхним и нижним отклонением TD = ES – EI = 16 мкм,

допуск вала Td = es – ei = 0 – (– 11) = 11 мкм.

Максимальный и минимальный размер отверстия равен сумме номинального размера и верхнего (нижнего) отклонения отверстия.

D _max = D + ES = 50,016 мм,

D _min= D + EI = 50 мм.