Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Наиболее часто используемыми криволинейными координатами являются цилиндрические координаты (φ,ρ,z) (рис.4.1)

                       Рис. 4.1

                       Рис.4.2

Связь декартовой и цилиндрической систем координат:

                                (4.1)    

   

В отдельных случаях, особенно если пространство “V” ограничено сферой с центром в начале координат или сферой и конусом, с вершиной в начале координат, используется сферическая система координат (φ,θ,r) рис.4.2.

Связь сферической и декартовой систем координат:

                                                             (4.2)

Пример: расставить пределы интегрирования по области “V” в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат, если область “V” ограничена поверхностями:

Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, необходимо начертить, как минимум, две проекции, одну на вертикальную плоскость XOZ или YOZ и другую на горизонтальную- XOY. Начать всегда рекомендуется с вертикальной проекции, т.к. в задачах, в основном, встречаются тела вращения, проекция которых на горизонтальную плоскость XOY – окружности. Т.к. в данной задаче в уравнении конуса коэффициенты при  одинаковые (единицы), то это круговой конус. Коэффициенты у  и, соответственно, у  тоже одинаковые (единицы), следовательно, образующие конуса расположены под углом

              Рис. 4.3                             Рис. 4.4

Уравнения параболоида , т.е. вершина параболоида находится на оси OZ в точке (0;0;1). Для проекции на плоскость ZOX находим точки касания (или пересечения) образующих конуса и соответствующей параболы.

, тогда

Т.е. касание происходит при z=2. Тогда радиус круга (проекция на XOY) R=2. Т.к. , то проекцией на XOY будет являться четверть круга   находящаяся в IV четверти: . А так как поверхности пересекаются только при z > 0, для параболоида , для конуса z=√x²+ y²

Декартовая система координат:

В цилиндрической системе (как в полярной на плоскости)  (IV четверть) уравнение окружности , т.е. ρ=2. Конус  в цилиндрической системе координат  .

Интеграл по заданной области “V” в цилиндрической системе координат

В сферической системе угол  тот же, что и в цилиндрической, т.е.

. Угол  – угол в проекции на вертикальную плоскость между конусом и параболоидом, т.е.

Т.к. в этом диапазоне углов  на вертикальной проекции находится только параболоид, то уравнение параболоида  в сферической системе координат:

, т.к. , то

, или

Решая это квадратное уравнение относительно r, получим

    т.к. при   функция  растет, а функция  убывает, то выражение под корнем . Т.к.

,то упростим подкоренное выражение .

Тогда  и

В сферической системе координат интеграл примет вид:

Пример: область “V” ограничена поверхностями:

.

Поверхность  – параболоид с вершиной в точке (0;0;-4). Начинаем построение проекции с проекции на вертикальную плоскость ZOX. На плоскость горизонтальную XOY поверхность проектируется кругом (при z=5), радиуса R=3. Область расположена во II квадранте.

Декартовая система координат:

Цилиндрическая система координат: параболоид в цилиндрической системе:

              Рис. 4.5                                       Рис. 4.6

В принятой сферической системе координат изменение угла , поэтому находим угол , расположенный в правой полуплоскости:

 т.е.

Параболоид в сферической системе координат:  

 

;

;

, тогда  , т.к.  то выбираем .

В сферической системе интеграл разбивается на два, т.к. до  область ограничена (на проекции ZOX) параболой, а при  область ограничена z=5 (в сферической системе , т.е. )

 

Пример: расставить пределы интегрирования по области “V”, ограниченной поверхностями: ; ; x=0; y=0; z=0 для

(внутри цилиндра)

 – цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси OZ. Проектируется на плоскость XOY окружностью радиуса R=1

 – параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;2)

              Рис. 4.7                                                Рис. 4.8

 

Декартовая система координат:

В цилиндрической системе координат параболоид  имеет уравнение .

Тогда

В сферической системе координат интеграл разбивается на два. Уравнение параболоида примет вид:

;

Решаем квадратное уравнение относительно параметра r

Тогда  

Параболоид пересекается с цилиндром при z=1 поэтому в первом интеграле .